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Une curieuse suite récurrente

Legrand Pierre

- 8 décembre 2016 -

Résumé de l’article

L’auteur part de l’algorithme de la "preuve par 9" et remplace la somme des chiffres par la somme de leurs carrés, puis réitère le processus. Il étudie alors le comportement de la suite des nombres successifs. L’objet de l’article est de montrer que, soit la suite se stabilise à la valeur 1 au bout d’un certain temps, soit elle est périodique à partir d’un certain rang. L’auteur adopte les deux points de vue du bricoleur rétro et du fanatique de l’ordinateur.
Ensuite il généralise à la somme des puissances k-ièmes. Il retrouve soit la stabilisation à quelques valeurs numériques soit la périodicité à partir d’un certain rang. Cette étude met en oeuvre quelques idées clés de l’arithmétique, et montre comment on peut utiliser l’ordinateur comme auxiliaire de la démonstration, une fois que le raisonnement a borné le nombre de cas à étudier

Plan de l’article

  • 0. Expérimentation numérique
  • 1. Préalable : Pour tout x≥100, on a s(x)
  • 2. Quel que soit $x_0$, , la suite est bornée.
  • 3. Le point de vue du fanatique de l’ordinateur
  • 4. Le point de vue du bricoleur rétro
  • 5. Généralisation
  • 6. Quelques indications pour k = 3
  • Conclusion
  • Annexe

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(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)