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Une histoire de l’invention mathématique. Les démonstrations du théorème fondamental de l’algèbre dans le cadre de l’analyse réelle et de l’analyse complexe de Gauss à Liouville.

par Jean Dhombres et
Carlos Alvarez.

Hermann, 2013.

476 pages en 17 x24. Prix : 36 €

ISBN : 978-2-7056-8317-7

Cette suite de Une histoire de l’imaginaire
mathématique - Vers le théorème fondamental
de l’algèbre et sa démonstration par
Laplace en 1795
, (mêmes auteurs, même éditeur,
recensé dans le BV 502, page 120) relate
les divers avatars du « théorème fondamental
 » tout au long du XIX° siècle. Dans
cet épisode de la saga, les vedettes sont
Gauss, Argand, Cauchy, Liouville ; d’autres
rôles importants sont tenus par Lagrange,
Legendre, Laplace, Lacroix, Encontre,
Bolzano, Darboux, …

En dépit de la chronologie,
les structures algébriques, héritage de
Galois, sont reportées au futur tome 3, de
même que le regard ensembliste de Cantor.

Les lignes directrices sont multiples : démêler
les arguments purement algébriques des
interventions de l’analyse et de la topologie,
incontournables à travers la notion de continuité
 ; étudier les filiations entre les différentes
approches ; montrer que la recherche
autour du Théorème fondamental contribue
aux progrès de la connaissance mathématique
(construction de l’Analyse, représentation
géométrique des complexes et ébauche
du calcul vectoriel par Argand, …) ; montrer
que le souci pédagogique (rédaction de
manuels) a permis la rédaction de démonstrations
de plus en plus simples ; relativiser,
en l’historicisant, la notion de rigueur.

La structure de l’ouvrage est :

  • Introduction
  • Énoncés historiques du théorème fondamental
    de l’algèbre, 1795-1895 (30 énoncés)
  • Mise en scène : un théorème qui devient
    abordable dans l’enseignement (1795-1815)
  • Première partie : L’intervention de l’analyse
    (3 chapitres)
  • Deuxième partie : Le théorème fondamental
    recueille des inventions (3 chapitres)
  • Dictionnaire bibliographique (91 entrées,
    beaucoup de portraits)
  • Bibliographie (24 pages), Index.

Presque tous les chapitres sont complétés, en
annexe ou dans le corps du texte, par des fac-simile
de textes originaux ou de leur traduction

La lecture de ce monument d’érudition est
enrichissante à plus d’un titre : sur le plan
historique bien sûr, il devrait devenir rapidement
une référence ; sur le plan strictement
mathématique, c’est l’occasion pour les
enseignants du secondaire de revoir (ou
découvrir) plus d’une notion qu’ils ne pratiquent
guère ; la confrontation des textes originaux
avec les paraphrases, commentaires,
mises en langage moderne par J. Dhombres
et C. Alvarez est une aide précieuse à leur
compréhension ; et on trouve aussi ici une
source de réflexion à propos de la relativité
de la notion de rigueur (Darboux, le premier,
détecte après 50 ans l’erreur de Cauchy qui
considérait, en 1821, qu’une fonction bornée
atteint forcément son minimum), de l’évolution
dans le temps des notations et définitions
(tous les auteurs écrivent « la fonction f(x) »,
là où nous exigeons de nos élèves « la fonction
f  »).

Les défauts sont infimes : manque de netteté
des fac-simile ; absence de certains des textes
originaux qui sont commentés ; quelques
coquilles sans importance. Les quelques critiques
que j’ai émises quant au tome 1 me
semblent ici moins nécessaires.

En résumé, ce livre est une contribution
essentielle à la culture historico-mathématique,
et j’attends avec impatience la parution
du tome 3.

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