APMEP

Problèmes d'antan 6.

Michel Fréchet — 2010-02-21T19:30:06Z

Agrégation des sciences mathématiques des jeunes filles :
Arithmétique, Algèbre et Géométrie (4 heures) — On considère quatre
points A, B C et D d'une circonférence de centre O.
1. Comparer au quadrilatère ABCD le quadrilatère dont les sommets sont les
points de rencontre des hauteurs des triangles BCD, CDA, DAB et ABC.
2. Démontrer que les projections orthogonales du point A sur les côtés du
triangles BCD sont sur une droite (a) ; et que cette droite (a) est parallèle à la
droite (…)

- Exercices d'antan

Agrégation des Sciences mathématiques 1923

Michel Fréchet — 2007-08-28T16:01:43Z

Mathématiques élémentaires, (6 heures)
Sur les côtés d'un triangle $ABC$, pris comme diagonales, on construit, dans le plan du triangle, les carrés $CPBP'$, $AQCQ'$, $BRAR'$. Les notations sont choisies de telle sorte que les sens de parcours, marqués par l'ordre indiqué pour les sommets, correspondent au sens de rotation $ABC$.
I. On considère la figure constituée par l'ensemble des neufs points $A$, $B$, $C$, $P$, $Q$, $R$, $P'$, $Q'$, $R'$, et par les segments qui ont pour extrémités (…)

- 1923

Agrégation des Sciences Mathématiques des jeunes filles 1923

Michel Fréchet — 2007-08-27T16:17:20Z

Arithmétique, Algèbre et Géométrie (4 heures)
I. On propose de déterminer un nombre, $n$, de deux chiffres, tel que si l'on intercale entre les deux chiffres $1$, $2$, ... $p$ ... zéros on obtienne des nombres $n_1$, $n_2$, ..., $n_p$, ... tous divisibles par $n$.
Examiner, pour les diverses solutions obtenues, la nature du nombre décimal illimité dont la fraction génératrice a come dénominateur $n_p$, et comme numérateur le premier chiffre (à gauche) de $n$.
Démontrer qu'il y a, en (…)

- 1923

Certificat d'aptitude (E. S. des J. F.) 2e Partie-Sciences

Michel Fréchet — 2007-08-27T16:11:19Z

Mathématiques (4 heures)
Soient deux axes de coordonnées rectangulaires $Ox$, $Oy$, et deux points $A$ et $A'$ d'abscisses $\alpha$ et $-\alpha$ donnés sur $Ox$.
1. Former l'équation générale des courbes du second degré $(C)$ admettant $Ox$ pour axe et les points $A$ et $A'$ pour sommet.
2. Chercher l'équation différentielle à laquelle satisfont les courbes $(C')$ ainsi définies : la tangente en chaque point d'une courbe $(C')$ est perpendiculaire à la tangente en ce point à la (…)

- 1923

Certificat d'aptitude (E. S. des J. F.) ENS de Sèvres

Michel Fréchet — 2007-08-27T16:03:45Z

Arithmétique et Algèbre (2 heures).
Étant donnés les deux nombres $u=1+\sqrt2$, $v=1-\sqrt2$, on peut poser
$$ \beginarrayll u^n &= a_n+b_n\sqrt2\ v^n &= a_n-b_n\sqrt2 \endarray$$
où $a_n$ et $b_n$ sont des nombres entiers positifs. Démontrer que, lorsque l'exposant $n$ augmente indéfiniment, les entiers $a_n$ et $b_n$ augmentent indéfiniment, et le rapport $\dfraca_nb_n$ tend vers $\sqrt2$. Démontrer que $u^n$ diffère d'un entier d'un nombre qui tend vers zéro. Démontrer que (…)

- 1923

Concours général des Lycées et Collèges

Michel Fréchet — 2007-08-27T15:51:58Z

Classe de Mathématiques (6 heures).
On considère les hyperboles qui ont un foyer donné $F$, qui passent par un point donné $A$ et dont une asymptote est parallèle à une direction donnée $D$.
1. Démontrer que la directrice relative au foyer $F$ passe par l'un ou l'autre de deux points fixes que l'on construira.
(Dans tout le problème, on n'envisagera que la famille des hyperboles $[H]$ pour lesquelles la directrice passe par l'un des deux points trouvés ; soit $I$ ce point)
Prouver (…)

- 1923

Examens des bourses des Lycées et Collèges de jeunes filles

Michel Fréchet — 2007-08-27T15:44:45Z

1e Série, pour entrer en 1e Année (1 heure).
I. Une mère achète deux pièce de toile de même qualité, dont l'une a 7 m. 80 de plus que l'autre et qui coûtent ensemble 177 fr. 45. Avec la plus petite, elle peut faire 5 chemises, revenant chacune à 13 fr. 65 pour le prix de la toile seulement. Calculer : 1° la longueur de chaque pièce ; 2° le prix du mètre de toile ; 3° combien on pourra faire de chemises avec la plus grande pièce ; 4°la longueur de toile nécessaire à la confection d'une (…)

- 1923

Examens des bourses des Lycées et Collèges de Garçons

Michel Fréchet — 2007-08-27T15:33:21Z

1re Série A et B, pour entrer en Sixième (1 heure 1/2).
I. Un cultivateur a vendu 36 sacs de blé à 76 fr. 50 le sac et 25 sacs d'avoine à 56 fr. 80 le sac. Sur le produit de cette vente, il achète d'abord 5 sacs d'engrais à 54 fr. 80 l'un. Avec le reste, il achète, à 0 fr. 60 le mètre carré, un terrain rectangulaire de 32 m. 50 de largeur.
Calculer : la surface de ce terrain ; sa longueur.
II. Un père a acheté une bicyclette à chacun de ses trois fils. La deuxième bicyclette et la (…)

- 1923

Examens des bourses des Lycées et Collèges de jeunes filles, 1922

Michel Fréchet — 2007-07-23T12:56:49Z

1re Série (pour entrer en 1e année) : La récolte d'un champ de blé est achetée 430 francs avant d'être coupée. La moisson fournit 221 gerbes et nécessite 3 heures de travail d'une moissonneuse à 4 fr. 90 l'heure. Le transport et le battage coutent ensemble 41 fr. 50. Sachant que 5 gerbes produisent 25 litres de grain, calculer le prix de revient d'un hectolitre de blé. Un éleveur vend 3 bœufs et 20 moutons, et fait sur cette vente un bénéfice total de 1250 francs. Sur un bœuf, il gagne 10 (…)

- 1922

Examens des bourses des lycées et collèges de garçons, 1922

Michel Fréchet — 2007-07-23T12:48:01Z

1re Série A et B (pour entrer en sixième) : Un marchand achète 7 barils d'huile d'olive de chacun 120 littres au prix de 950 francs les 100 kilogrammes. Il met cette huile dans des bidons contenant chacun 1 décalitre. Mais il a, sur les 7 barils, un déchet de 20 litres. Il revend l'huile à raison de 105 francs le bidon. Quel sera son bénéfice si un litre d'olive pèse 0 kg 915 ? Un hôteleir achète 8 barriques de vin pour une certaine somme. Si chaque barrique avait coûté 150 francs de moins, (…)

- 1922