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  APMEP   256-257. Promenades aléatoires plus ou moins un.

Article du bulletin 256-257

- 27 janvier 2013 -

par Gérard LETAC.

Département informatique de l’IUT de Clermont-Ferrand

Nous voudrions montrer ici, à travers quelques exemples, combien le modèle probabiliste d’une promenade aléatoire ± 1 est riche et comment il rend service dans des questions qui à première vue en paraissent fort éloignées.

Considérons un point P mobile sur la droite $\mathbb{Z}$ des entiers relatifs. A l’instant k $(entier \geq 0$), la position de P est repérée par l’entier $S_k$. de $\mathbb{Z}$. On suppose $S_0 = 0$. On jette une pièce de monnaie entre les instants k et k +1.

Si c’est face on pose $S_{k+1} = S_{k} + 1$, sinon $S_{k+1} = S_{k} -1$.

En d’autres termes

$S_{k+1} =X_1 +... +X_k$, où $X_1 .... X_k$ sont des variables aléatoires indépendantes telles que $Pr(X_k = +1) = Pr(X_k =-1)= \frac{1}{2}$

Par exemple :

k 1 2 3 4 5 6 7
Pièce pile pile face face face pile face
$X_k$ -1 -1 1 1 1 -1 1
$S_k$ -1 -2 -1 0 1 0 1

1. Une réussite

Dans un jeu de 52 cartes, Pierre tire une carte et, avant de la regarder, devine sa couleur, rouge ou noire. Il marque un point s’il a deviné juste. Il recommence avec le paquet de 51 cartes restantes, et ainsi de suite jusqu’à épuisement du paquet. Paul lui donne 1 franc par point marqué.
Combien d’argent Pierre doit-il donner à Paul au début du jeu pour que celui-ci soit équitable ? Si vous préférez, quelle est la moyenne E(N) - ou espérance mathématique - du nombre N de points marqués ?

Contrairement à ce qu’on pourrait penser à première vue, 26 n’est pas E(N) ; c’est même le salaire minimum garanti de Pierre : qu’il lui suffise d’annoncer 52 fois rouge. Il y a mieux : Pierre peut annoncer rouge si c’est la couleur la mieux représentée dans le paquet (ou vice versa) et annoncer au hasard s’il y a égalité. (Il n’est pas difficile de vérifier que cette méthode maximise E(N).)

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(Article mis en ligne par Christiane Zehren)
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