Brochure APMEP n°135

« 4 CONCOURS 2001 : CAPLP2 interne et externe, CAPES interne et externe ». Corrigés dûs à la R.M.S. (Revue de Mathématiques Supérieures, Vuibert) pour le CAPES externe, à l’APMEP pour les trois autres concours.

Brochure de 112 pages, impeccablement présentées (à deux ou trois lapsus près !, ainsi pour le titre « Capes externe » au lieu de « Capes interne », page 64 ; heureusement le contexte rectifie).

No ISBN : 2-912846-110.

Prix public : 7,20€, adhérent ou étudiant : 5€.

CAPES EXTERNE – PREMIÈRE ÉPREUVE :

I. L’équation fonctionnelle \(f (x + y) = f (x) f (y)\) sur \(\mathbb R^+\)
II. Produit de convolution.
III. Variables aléatoires sans mémoire et d’attente.
IV. Comportement asymptotique d’une suite de variables aléatoires.
V. Étude des suites \(P(M_n= I_n)\) et \(P(M_n=I_{n+ 1})\).
« Les trois dernières parties sont consacrées à la modélisation probabiliste d’un problème de réception de messages par un réseau informatique ». L’introduction de l’épreuve signale les parties indépendantes les unes des autres.
Corrigés dûs à J.-F. DANTZER, auteur du sujet, et à J.-E. ROMBALDI.

CAPES EXTERNE – DEUXIÈME ÉPREUVE :

« L’objet du problème est l’étude de certains aspects des suites récurrentes linéaires d’ordre deux. La première partie concerne leurs propriétés générales, et propose quelques exemples parmi lesquels la [classique] suite de Fibonacci. Les parties I, II, III, indépendantes les unes des autres, concernent des problèmes particuliers dans lesquels interviennent de telles suites : résolution d’une équation de Pell-Fermat \(x^2 - 5y^2 = 1\) ; recherche d’une relation arithmétique […] lorsqu’interviennent des coefficients premiers entre eux ; représentations d’un entier naturel par des éléments de la suite de Fibonacci (Cf. représentation de Zeckendorff, …) ».
Corrigé de Marc PÉRONNET, auteur du sujet.

CAPES INTERNE – PREMIÈRE ÉPREUVE :

Étude, avec paramétrage, des tangentes à un cercle, puis de quadrilatères convexes circonscrits à un cercle : parallélogrammes, puis non parallélogrammes, enfin trapèzes isocèles.
Corrigé de G. LION, qui a remarquablement commenté.

CAPES INTERNE – DEUXIÈME ÉPREUVE :

Étude d’une marche aléatoire sur un triangle.
Corrigé de G. LION, avec note de P.-L. HENNEQUIN.

CA/PLP2 EXTERNE :

PREMIER EXERCICE : Probabilités (avec calcul matriciel).
DEUXIÈME EXERCICE : Compositions de symétries orthogonales.
PROBLÈME : Construction de fonctions \(f_n\) telles que, pour tout réel x, \(\lim_{n \to \infty} f_n(x)=f(x)\) :

• d’abord avec des fonctions de classe \(C^1\),
• puis avec des fonctions de classe \(C^∞\).
  Corrigés de J .-F. NOËL, relus par Y. BERTHOLET.

CA/PLP2 INTERNE :

PREMIER EXERCICE : Calcul matriciel pour une étude de nature économique.
DEUXIÈME EXERCICE : Étude (conjecture, puis démonstration, par une inversion traitée par les complexes) d’un cercle qui se révèle tangent à trois autres.
PROBLÈME :

• Questions pédagogiques à propos d’un électrofiltre et de la fonction ln.
• Obtention d’un équivalent de n ! lorsque n tend vers +∞ . Utilisation pour des probabilités sur des lancers de pièces.
  Corrigés de J. DABLANC, relus par J. DE BIASI (et de L. BREITBACH pour les « Questions pédagogiques »).

Commentaires

L’ENSEMBLE, très diversifié, on a pu s’en rendre compte, constitue non seulement un excellent outil de travail pour les candidats, mais encore, comme chaque année, une occasion de ressourcement et une mine d’exercices ou problèmes pour des enseignants.

ATTENTION  : L’APMEP propose à ses adhérents et aux étudiants des prix pour des achats groupés portant aussi sur :

• la brochure 117 : Capes et Caplp2 internes et externes 1997 et Agrégation interne 1996,
• la brochure 127  : Caplp2 internes et externes et Capes externe 1998 et 1999,
• la brochure 134 : Caplp2 internes et externes et Capes externe 2000.

CES PRIX, LES VOICI (POUR ADHÉRENTS OU ÉTUDIANTS) :
Nos 127 et 134 ensemble : 8,40€.
Nos 117 (en voie d’épuisement) , 127 et 134 ensemble : 12€.
Nos 127, 134 et 135 (l’actuelle brochure) ensemble : 12€.
Nos 117, 127, 134 et 135 ensemble : 16€.
Frais de port en plus : Cf. page 5 de la plaquette jointe au Bulletin n°435, et disponible sur simple demande.

À saisir, les corrigés étant toujours TRÈS SOIGNÉS !