Mon propos est de comparer deux sujets MathEnJean qui ont donné lieu à des exposés et des
articles ayant un contenu mathématique consistant. Aucun des deux n’était en relation
avec la recherche actuelle, et on ne pouvait pas attendre des élèves de découverte
sensationnelle : on savait plus ou moins ce qu’ils pouvaient trouver. Cela n’est pas
gênant : ce qui compte c’est que les élèves soient en situation de recherche, exploitent
leurs idées et élaborent leurs propres méthodes. C’est d’ailleurs là que réside le
principal écueil quand on pose des sujets complètement résolus : les professeurs
doivent résister à l’envie bien naturelle d’orienter les élèves vers des pistes dont ils
savent qu’elles « débouchent ».

Premier sujet

Combien de points faut-il pour définir une courbe ?

Ce sujet a été posé en 2006 à des élèves de première S et terminale S.
À première vue, c’est un sujet passionnant, dont nous savons en tant que professeur
qu’il a beaucoup de « profondeur ».

 1) Début de la recherche

Le groupe a commencé par des cas très simples : droite et segment.
Ensuite, très vite, ils ont pensé à la parabole dont ils avaient entendu parler en cours.
Ils ont rapidement vu qu’il fallait au moins trois points non alignés, mais qu’en
général cela ne suffisait pas et qu’en revanche dans un repère bien choisi cela suffisait.
Ils ont alors trouvé l’équation cartésienne de la parabole sans grande difficulté.
Ils ont appris, sans doute par un professeur, qu’il existait une définition géométrique.
Ils ont donc mis en relation cette définition et l’équation cartésienne trouvée
précédemment.

 2) Premiers piétinements

L’étude de la parabole a pris un mois environ et a été exposée au premier séminaire.
Ensuite, pendant plusieurs séances, le groupe a cherché quelles courbes ils pouvaient
explorer.
Les autres coniques ne les ont pas trop tentés. Ils voulaient en fait étudier des courbes
quelconques…
Le découragement gagnait. Après concertation avec le chercheur, deux pistes balisées
étaient possibles : l’interpolation de Lagrange ou les courbes de Bézier.
L’interpolation ressemblait en plus compliquée à la parabole. On a donc décidé de les
orienter vers Bézier. Mais ils ne pouvaient pas en quelques semaines « découvrir » tous seuls le principe de ces courbes. Il a donc fallu le leur expliquer.

 3) Redémarrage

Après cela, ils ont exploré les cas avec deux, puis trois points et ont buté sur la
généralisation.
Il a fallu là-aussi leur donner un coup de pouce. Les élèves de TS avaient un avantage
et ce sont eux qui ont élaboré la preuve de la formule.
On espérait qu’ils pourraient ensuite mettre cela en application sur ordinateur, mais
ils n’avaient pas vraiment les compétences en Géoplan ; c’est donc un professeur qui
l’a fait.

 4) Réalisations

Finalement, leur exposé avait de la substance et la mise en oeuvre sur Géoplan était
très spectaculaire. Cela a donc été de ce point de vue une réussite.
L’article a été écrit
et diffusé sur le site de MEJ très rapidement car il était impeccable.

 5) Bilan

On est revenu du congrès très satisfaits de nous et des élèves…
Mais en discutant avec ces derniers, il a fallu déchanter. Une grande partie d’entre eux
avait participé à l’atelier l’année d’avant et avait étudié des marches aléatoires sur la
droite et dans le plan, sans aucune connaissance en probabilité, puisqu’ils étaient en
seconde. Ils avaient développé des outils certes bien classiques en terminale, mais
entièrement seuls et en avaient retiré une légitime fierté.
Leur frustration était patente. Je rapporte leur réflexion qui résume bien ce que je veux
exprimer : « Vous nous avez tout dit, nous n’avons fait qu’exécuter ».
Avec le recul, ce sujet est un excellent sujet de TPE, mais pas un bon sujet de
recherche MEJ.
Le bilan n’en est donc pas négatif d’un point de vue mathématique, car les élèves ont
appris beaucoup de choses.
On trouvera dans l’Annexe 1 un extrait significatif du travail des élèves.

Deuxième sujet

Dans une ville côtière, les rues sont toutes nord-sud ou est-ouest et la
distance entre deux carrefours voisins est toujours la même. La plage
est au sud-est. Pour aller à la plage depuis sa maison, Paul prend une
pièce et à chaque carrefour tire à pile ou face. S’il obtient pile, il prend
la rue vers le sud, sinon il prend la rue vers l’est. Il arrive à la plage
après n lancers. Combien de chemins possibles peut-il faire ? Combien
de chances a-t-il d’arriver en un point donné de la plage ?

Ce sujet a été posé en 2007 à des élèves de seconde, qui n’avaient donc aucune
connaissance en dénombrement et probabilités.
Bien entendu, ce sujet est du niveau du cours de TS et on peut trouver qu’il n’est pas
bien dans l’esprit « math en jeans ».
Mais l’objet de cet article est de montrer que les élèves peuvent faire acte de recherche sur un tel sujet, aussi bien que sur un sujet ouvert.
Cela suppose que le groupe constitue un « système isolé », sans aide extérieure autre
que celle, contrôlée, des professeurs et du chercheur et que les élèves ne cèdent pas à
la tentation de puiser des informations sur Internet par exemple.
L’expérience prouve
que c’est toujours le cas : ils n’éprouvent aucune envie de rompre le pacte qu’ils ont
plus ou moins implicitement avec nous et avec eux-mêmes. On est bien dans une
toute autre logique que celle du cours traditionnel.

 1) Début de la recherche

Comme les y invitait le sujet, les élèves ont commencé par chercher le nombre total
de chemins et ont tout naturellement essayé des petites valeurs de n. Ils ont très vite
constaté qu’ils trouvaient des puissances de 2. Leur méthode de comptage pour passer
par exemple de 4 à 5 les a mis sur la piste de « l’hérédité ». Comme ils ne
connaissaient pas le principe de récurrence, ils m’ont demandé si le fait de prouver
cette hérédité démontrait leur conjecture.
Je leur ai donc parlé de ce principe. Mais ils avaient juste besoin de savoir si c’était
une vraie démonstration.

 2) Découverte des coefficients binomiaux

Après avoir patiemment calculé les nombres de chemins
arrivant à un point donné de la côte pour $n \leq20$, en utilisant
toujours le même principe (voir schéma ci-contre) ils ont
conjecturé les valeurs de
$\left( \begin{array}{c} n\\ 0\\ \end{array} \right) $,
$\left( \begin{array}{c} n\\ 1\\ \end{array} \right) $
,
$\left( \begin{array}{c} n\\ 2\\ \end{array} \right)$ et, c’est là que
nous avons été assez épatés, ils ont conjecturé
$\left( \begin{array}{c} n\\ k\\ \end{array} \right) $,
qu’ils
ont ensuite démontré par récurrence (qu’ils commençaient à bien maîtriser !)

 3) Généralisation à la binomiale de paramètres n et p

Ayant achevé leur travail alors qu’il restait deux mois, ils ont voulu compliquer en
jouant aux dés au lieu de pile ou face. Ils ont alors eu une idée très originale :
distinguer les chemins (toujours au nombre de $2^n$) menant à la plage, des « suites de
dés » différentes pour y parvenir en jouant.
Si par exemple, on décide que 1 ou 2 nous font aller à l’Est et 3,4,5,6 vers le Sud,
les deux suites de dés 1,2,4,4,5 et 2,1,3,4,6 donnent le même itinéraire.

Ils ont donc trouvé $6^n$ suites de dés différentes. Donc en multipliant leur nombre
de chemins pour arriver à un point donné par le nombre de suites de dés y menant,
soit $4^{k}2^{n-k}$, et en divisant par $6^n$ ils ont obtenu la formule connue !
Ayant remarqué alors qu’elle pouvait s’écrire $\left( \begin{array}{c} n\\ k\\ \end{array} \right)p^{k}(1-p)^{n-k}$ , où p représentait pour
eux la chance d’aller vers l’Est, ils n’ont pas eu de mal à terminer leur généralisation
(intuitive) à une pièce de monnaie quelconque
Ce qui est intéressant dans cette démarche est qu’ils n’utilisent à aucun moment
l’indépendance des tirages dont ils ignorent évidemment le sens mathématique, mais
uniquement du dénombrement et l’hypothèse (non formulée) d’équiprobabilité des
suites de dés.
Ci-joint en annexe 2 un extrait de l’article écrit par les élèves et uniquement par eux.

Conclusion

Il est clair que le premier sujet est plus ambitieux que le deuxième et surtout plus
« ouvert ».

Mais leur mise en oeuvre a montré que le véritable acte de recherche a été réalisé dans
le deuxième : il a fallu pour cela que l’équipe d’enseignants joue le jeu de bout en
bout en ne dirigeant pas les élèves dans telle ou telle voie.

En posant des sujets encore ouverts où les professeurs n’en savent pas plus que leurs
élèves, les chercheurs peuvent faciliter ce type de réussite. Mais, outre le fait que les
sujets ouverts accessibles à des élèves ne sont pas nombreux, ils peuvent s’avérer
décevants si les élèves se trouvent trop vite à court d’inspiration et qu’il soit alors
nécessaire de les aider pour sauver l’année.

(*) Lycée Montaigne, Bordeaux. pgrihon@free.fr