par Pierre Meunier

Cépaduès, décembre 2010
180 p. en 14,5 × 20,5, ISBN : 978-2-85428-954-1

Cet ouvrage est issu d’un enseignement en mathématiques Spéciales MP* avec le double objectif de renforcer les connaissances en algèbre des candidats aux ENS et d’adapter ces mathématiques aux techniques de codage et de décodage numériques.

L’objet de l’arithmétique modulaire est l’étude des anneaux ou des corps, le plus souvent finis, par réduction à partir d’un idéal I d’un anneau commutatif A. En pratique, ou bien A = \(\mathbb{Z}\) et I est du type \(n\mathbb{Z}\) ou bien A = \(\mathbb{K}[X]\), \(\mathbb{K}\) étant un corps.

À partir d’un ensemble produit de l’arithmétique modulaire usuelle, on peut créer des sous-ensembles algébriquement faciles à identifier organisés en groupes cycliques.

L’intérêt de l’arithmétique modulaire est qu’elle dispose et crée des ensembles finis, algébriquement très riches pourvus de modes opératoires n’ayant aucun ordre prévisible et donc susceptibles de favoriser la création d’algorithmes de secret nécessaires en cryptologie.

La cryptologie est l’art de transmettre des informations de manière qu’elles soient compréhensibles du destinataire légitime et de lui seul ; elle s’est développée depuis l’antiquité et occupe aujourd’hui une place vitale dans les transactions bancaires, les téléphones portables, l’utilisation de la Toile, …

Le développement fulgurant de l’informatique et de la puissance de calcul impose à la cryptologie d’utiliser des mathématiques de plus en plus complexes et subtiles et dont les spécialistes ne prévoyaient pas d’applications.

Ceci explique le rapprochement que souligne le titre.

L’ouvrage comporte huit parties et une annexe.

• 1. Notions préliminaires
  Équivalence, monoïdes, algorithmes.
• 2. Groupes, anneaux, corps.
• 3. Arithmétique modulaire dans \(\mathbb{Z}\)
  Théorème chinois, indicatrice d’Euler, test de primalité de Miller-Rabin.
• 4. Arithmétique modulaire dans \(\mathbb{K}[X]\) où \(\mathbb{K}\) est un corps fini.
• 5. Résidus quadratiques, Loi de réciprocité.
• 6. Les nombres premiers.
• 7. Arithmétique modulaire et cryptologie.
• 8. Protocoles de signature et d’identification numérique.
• annexe : Cryptographie et surfaces de Frobenius (T.I.P.E.d’un élève).

Le livre développe un cours illustré d’exemples empruntés à des recherches récentes mais ne compte ni exercices, ni index, ni bibliographie ni références historiques.

Bien présenté et rédigé, il rendra service non seulement aux taupins, mais aussi aux candidats au CAPES et à l’agrégation, mais aussi à tous les curieux souhaitant connaître en profondeur l’utilisation par la société de travaux mathématiques abstraits.