Mathématiques (4 heures)

Soient deux axes de coordonnées rectangulaires \(Ox\), \(Oy\), et deux points \(A\) et \(A’\) d’abscisses \(\alpha\) et \(-\alpha\) donnés sur \(Ox\).

1. Former l’équation générale des courbes du second degré \((C)\) admettant \(Ox\) pour axe et les points \(A\) et \(A’\) pour sommet.

2. Chercher l’équation différentielle à laquelle satisfont les courbes \((C’)\) ainsi définies : la tangente en chaque point d’une courbe \((C’)\) est perpendiculaire à la tangente en ce point à la courbe \((C)\) qui y passe.

Intégrer cette équation différentielle. Indiquer la forme des courbes intégrales.

3. Les courbes \((C)\) et les droites passant par \(O\) sont des courbes intégrales de l’équation différentiele

$$ (\alpha^2-x^2)y’’-xy’+y=0$$

Montrer que l’on rencontre cette équation différenteille en cherchant les courbes telles que l’on ait :

$$\overline{MT}^2\cdot\overline{MT’}^2=\overline{MN}^2\cdot\overline{OH}^2$$

\(M\) désignant un point quelconque de l’une de ces courbes. \(T\) et \(T’\) les points d’inetrsection de la tangente en \(M\) avec les droites d’équation \(x-\alpha=0\), \(x+\alpha=0\), \(MN\) le rayon de courbure en \(M\), \(H\) le pied de la perpendiculaire abaissée de \(O\) sur la tangente en \(M\).

Intégrer les équations différentielles obtenues.

Construire celles des courbes intégrales qui passent par le point de \(Oy\) d’ordonnée \(\alpha\) et qui admettent en ce point une tangente parallèle à la bissectrice de l’angle \(xOy\).