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Certificat d’aptitude (E. S. des J. F.) ENS de Sèvres

Michel Fréchet

Arithmétique et Algèbre (2 heures).

Étant donnés les deux nombres u=1+\sqrt{2}, v=1-\sqrt{2}, on peut poser

 \begin{array}{ll}
u^n &= a_n+b_n\sqrt{2}\\
v^n &= a_n-b_n\sqrt{2}
\end{array}

a_n et b_n sont des nombres entiers positifs.

  1. Démontrer que, lorsque l’exposant n augmente indéfiniment, les entiers a_n et b_n augmentent indéfiniment, et le rapport \dfrac{a_n}{b_n} tend vers \sqrt{2}. Démontrer que u^n diffère d’un entier d’un nombre qui tend vers zéro.
  2. Démontrer que a^2_n-2b^2_n a une valeur absolue indépendante de n ; prouver que la fraction \dfrac{a_n}{b_n} est irréductible.
  3. Calculer a_{n+1} et b_{n+1} connaissant a_n et b_n. Prouver que les fractions \dfrac{a_{n+1}}{a_n} et \dfrac{b_{n+1}}{b_n} sont irréductibles. déterminer la limite de chaune de ces fractions quand n augmente indéfiniment.
  4. Calculer les sommes :

     \begin{array}{ll}
s_n & = u+u^2+u^3+\cdots+u^n\\
s'_n &= a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\\
s''_n &= b_1+b_2+b_3+\cdots+b_n
\end{array}

et chercher la limite vers laquelle tend \dfrac{s'_n}{s''_n} quand n augmente indéfiniment.

5. Montrer qu’il existe deux nombres fixes \alpha et \beta tels que l’on ait

\begin{array}{ll}
a_{n+2} &= \alpha a_{n+1}+\beta a_n\\
b_{n+2} &= \alpha b_{n+1}+\beta b_n
\end{array}

et déterminer ces nombres. Calculer les racines de l’équation :

x^2=\alpha x+\beta

expliquer le résultat obtenu.

Géométrie (2 heures).

On pose trois points fixes A, B, C en ligne droite, le point B étant entre A et C. Soit (D) la perpendiculaire élevée en C à la droite ABC.

On mène par A et B deux droites variables perpendiculaires entre elles, qui coupent respectivement la droite (D) en M et N.

  1. Démontrer que les droites AN et BM sont perpendiculaires entre elles.
  2. Démontrer qu’il existe deux points fixes I et J d’où l’on voit le segment MN sous un angle droit.
  3. Trouver le lieu du centre du cercle circonscrit au triangle AMN, ainsi que le lieu du centre du cercle circonscrit au triangle BMN.
  4. Soit P le point d’intersection des droites AM et BN, et soit Q le point d’intersection des droites AN et BM. démontrer que la droite PQ passe par un point fixe K.
  5. Trouver le lieu des points R et S d’intersection de la droite PQ avec la circonférence circonscrite au triangle AMN.
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