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Certificat d’aptitude (E. S. des J. F.) ENS de Sèvres

Michel Fréchet

Arithmétique et Algèbre (2 heures).

Étant donnés les deux nombres $u=1+\sqrt{2}$, $v=1-\sqrt{2}$, on peut poser

$$ \begin{array}{ll} u^n &= a_n+b_n\sqrt{2}\\ v^n &= a_n-b_n\sqrt{2} \end{array}$$

où $a_n$ et $b_n$ sont des nombres entiers positifs.

  1. Démontrer que, lorsque l’exposant $n$ augmente indéfiniment, les entiers $a_n$ et $b_n$ augmentent indéfiniment, et le rapport $\dfrac{a_n}{b_n}$ tend vers $\sqrt{2}$. Démontrer que $u^n$ diffère d’un entier d’un nombre qui tend vers zéro.
  2. Démontrer que $a^2_n-2b^2_n$ a une valeur absolue indépendante de $n$ ; prouver que la fraction $\dfrac{a_n}{b_n}$ est irréductible.
  3. Calculer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ connaissant $a_n$ et $b_n$. Prouver que les fractions $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ et $\dfrac{b_{n+1}}{b_n}$ sont irréductibles. déterminer la limite de chaune de ces fractions quand $n$ augmente indéfiniment.
  4. Calculer les sommes :

    $$ \begin{array}{ll} s_n & = u+u^2+u^3+\cdots+u^n\\ s'_n &= a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\\ s''_n &= b_1+b_2+b_3+\cdots+b_n \end{array}$$

et chercher la limite vers laquelle tend $\dfrac{s'_n}{s''_n}$ quand $n$ augmente indéfiniment.

5. Montrer qu’il existe deux nombres fixes $\alpha$ et $\beta$ tels que l’on ait

$$\begin{array}{ll} a_{n+2} &= \alpha a_{n+1}+\beta a_n\\ b_{n+2} &= \alpha b_{n+1}+\beta b_n \end{array}$$

et déterminer ces nombres. Calculer les racines de l’équation :

$$x^2=\alpha x+\beta$$

expliquer le résultat obtenu.

Géométrie (2 heures).

On pose trois points fixes $A$, $B$, $C$ en ligne droite, le point $B$ étant entre $A$ et $C$. Soit $(D)$ la perpendiculaire élevée en $C$ à la droite $ABC$.

On mène par $A$ et $B$ deux droites variables perpendiculaires entre elles, qui coupent respectivement la droite $(D)$ en $M$ et $N$.

  1. Démontrer que les droites $AN$ et $BM$ sont perpendiculaires entre elles.
  2. Démontrer qu’il existe deux points fixes $I$ et $J$ d’où l’on voit le segment $MN$ sous un angle droit.
  3. Trouver le lieu du centre du cercle circonscrit au triangle $AMN$, ainsi que le lieu du centre du cercle circonscrit au triangle $BMN$.
  4. Soit $P$ le point d’intersection des droites $AM$ et $BN$, et soit $Q$ le point d’intersection des droites $AN$ et $BM$. démontrer que la droite $PQ$ passe par un point fixe $K$.
  5. Trouver le lieu des points $R$ et $S$ d’intersection de la droite $PQ$ avec la circonférence circonscrite au triangle $AMN$.
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