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Concours général des Lycées et Collèges

Michel Fréchet

Classe de Mathématiques (6 heures).

On considère les hyperboles qui ont un foyer donné $F$, qui passent par un point donné $A$ et dont une asymptote est parallèle à une direction donnée $D$.

1. Démontrer que la directrice relative au foyer $F$ passe par l’un ou l’autre de deux points fixes que l’on construira.

(Dans tout le problème, on n’envisagera que la famille des hyperboles $[H]$ pour lesquelles la directrice passe par l’un des deux points trouvés ; soit $I$ ce point)

Prouver que le lieu du second foyer de ces hyperboles est une parabole. \item Soient $(H)$ et $(H')$ deux hyperboles quelconques de la famille considérée, $f$ et $f'$ leurs foyers respectifs autres que $F$, $(C_H)$ et $(C_{H'})$ les cercles directeurs qui ont pour centre $f$ et $f'$.

Lieu du point de contact des cercles $(C_H)$ et $(C_{H'})$ lorsqu’ils sont tangents.

Discuter leur intersection suibant la position de la droite $ff'$. Lieux de leurs points de rencontre quand la droite $ff'$ varie en gardant une direction fixe ou en passant par un point fixe.

2. $(H)$ et $(H')$ peuvent avoir des tangentes communes. Discuter l’existence de ces droites. Montrer qu’elles se coupent sur une droite fixe. Trouver la courbe fixe à laquelle elles restent tangentes quand la droite $ff'$ a une direction fixe ou passe par un point fixe ; appliquer au cas où les hyperboles $(H)$ et $(H')$ se coupent orthogonalement au point $A$. \item $(H)$ et $(H')$ peuvent avoir des points communs autres que le point $A$ et le point à l’infini sur $D$. Discuter leur existence. Quel est leur lieu :

a)- Quand ils sont confondus ;

b)- Quand les deux hyperboles associées ont leurs asymptotes parallèles ;

c)- Quand elles ont mêmes excentricité ?

Classe de Première, Section C et D (5 heures).

On donne dans un plan $P$, un triangle $ABC$ dont les hauteurs se rencontrent au point $H$. Soit $\Delta$ la perpendiculaire menée du point $H$ au plan $P$.

1. Déterminer un point $M$ sur la droite $\Delta$ de telle manière que le carré de l’aire du triangle $MBC$ soit égal à la somme des carrés des aires des triangles $MCA$ et $MAB$.

On demande d’exprimer la distance $HM=x$, en fonction du rayon $R$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$ et des quantités $\text{tg}B+\text{tg}C=u$, $\text{tg}B.\text{tg}C=v$, et d’interpêter les conditions de possiblité par une traduction graphique, en considérant $u$ et $v$ comme les coordonnées rectangulaires d’un point du plan.

2. On construit le trièdre $MA'B'C'$, supplémentaire du trièdre $MABC$ ($A'B'C'$ étant les traces des arêtes sur le plan $P$).

Démontrer que les deux triangles $ABC$ et $A'B'C'$ sont homothétiques. pour quelles positions du point $M$ ces triangles sont-ils égaux ?

Inversement, étant donnés deux trièdres supplémentaires de même sommet, on propose de déterminer tous les plans qui coupent ces deux trièdres suivant deux triangles homothétiques, les sommets homologues étant placés sur les arêtes correspondantes.

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