La page 723 du Bulletin n° 436 proposait deux petits problèmes d’Olympiades Belges. La page 718 dont deux indications issues des solutions fournies par les revues belges. Pierre SAMUEL nous en propose d’autres, très intéressantes :

Vous posez la question de savoir si \(m= \sqrt(x)\) et \(n= \sqrt( x- \sqrt x))\) peuvent être des entiers. La solution me semble être bien plus simple que ce qui est indique en bas de la p718. En effet on a \(x =m^2\) et \(n^2 = m^2 - m=m (m -1)\). Comme \(m\) et \(m-1\) sont premiers entre eux, chacun doit être un carré. Or les carrés de différence 1 ne courent pas les rues : ce sont 1 et 0. d`où m = x = 1.

Pour l’autre question sur p + 35, n’oublions pas que p = 2 est premier et que 2 + 35 = 37 se trouve être premier. Pour p impair, la réponse est non car p + 35 est pair, mais on peut se demander si ce pourrait être le double 2q d’un nombre premier.
C’est vrai pour p = 3 (q = 19), pas pour p = 7 (q = 21 = 3 x 7), mais pour p = 11 (q = 23), pas pour p=13 (q = 24), ni pour p=17 (q=26), p = 19 (q = 27), mais oui pour p=23 (q=29). On voit apparaître la condition nécessaire \(p \equiv 3\) (4). (si \(p \equiv 1 (4)\), 35 + p est multiple de 4), mais si elle est satisfaite, on tombe sur un problème du même ordre que celui des nombres premiers jumelés.