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  APMEP   Épreuves écrites du CAPES (3 volumes)

Article du bulletin 523

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Paul Louis Hennequin

- 31 mai 2017 -

*12 sujets et corrigés (2015 à 2011). 198 pages en 17 x 24 ISBN 978236493515.

*8 sujets et corrigés (2010 à 2005), 180 pages. ISBN 9782364935167.

*8 sujets et corrigés (2004 à 2001, 2014) 160 pages. ISBN 9782364935174.

Par François Gramain.

Cépaduès, collection « Bien maîtriser les mathématiques », Janvier 2016.

L’écrit du CAPES de mathématiques comporte deux épreuves de cinq heures. Ces trois volumes donnent sujets et corrigés des quinze dernières années. Depuis 2011, chaque épreuve peut comporter deux ou trois problèmes indépendants. Les énoncés sont très détaillés et permettent une progression pas à pas qui conduit à atteindre l’objectif fixé dès la présentation. Quand l’auteur relève une maladresse ou un abus de langage dans un énoncé, il les commente en lettres penchées. Il détaille particulièrement les solutions des dernières questions, en en proposant plusieurs variantes. Une même introduction de 8 pages figure dans chaque volume et préconise un mode d’emploi du livre en suggérant au lecteur de travailler en deux temps, dans le premier, mettre au point les connaissances nécessaires et débloquer un passage difficile en consultant un cours, un livre, ou le corrigé ; soigner dès le début la rédaction et créer des automatismes. Dans le deuxième, augmenter la vitesse en travaillant en temps limité et sans documents, puis se contrôler grâce au corrigé.

Suivent quelques conseils qui concernent tous ceux qui rédigent des textes mathématiques de concours ou d’examen et que l’auteur s’applique bien entendu à lui-même : vérifier si l’on a bien utilisé toutes les hypothèses, suivre les règles typographiques, donner une fois pour toutes une démonstration par récurrence, respecter la numérotation des questions du texte.
Suit un inventaire d’une vingtaine de mots ou de locutions du langage mathématique qui posent problème :
Alors : dans une démonstration il ne peut avoir qu’un sens causal : Si…alors
Avec : mot interdit qui remplace une quantification qu’il faut expliciter
Base (d’un espace vectoriel) : il est insensé de parler de la matrice de l’application linéaire f dans la base …
Base (de numération) : base 10 n’a pas de sens, écrire base dix.
Être mathématique : il ne fait rien : une fonction ne croît pas mas elle peut être croissante.
Forme (de la) : on énonce l’inclusion d’un ensemble dans un espace vectoriel alors qu’il y a identité.
Formule  : mot dangereux car il est nécessaire de vérifier que les hypothèses sont satisfaites avant d’utiliser les conclusions du théorème.
Intégrale impropre : elle ne converge ni ne diverge mais peut simplement être convergente (et alors elle vaut …) ou divergente.
Intégration par parties : pour pouvoir l’appliquer, il faut vérifier la continuité de $f’ $et de $g’$.
Limite : avant de l’utiliser dans des calculs, il faut démontrer qu’elle existe.
Montrer que : les démonstrations des physiciens ne font que montrer.
Nombre : complexe, entier, rationnel, réel, sont des adjectifs et il est regrettable de les utiliser comme substantifs dans les énoncés du CAPES.
On peut : en mathématiques il faut distinguer il existe et on peut trouver.
Positif : être précis dans l’utilisation des symboles ≥ et >.
Quantificateurs : il s’agit de symboles logiques qui doivent respecter les règles logiques en particulier de parenthésage mais cela peut alourdir les rédactions.
Récurrence : pas d’année sans raisonnement par récurrence dans l’écrit du CAPES ; avoir une écriture réflexe d’une démonstration en évitant « il existe  ».
Séries  : voir intégrale impropre.
Sigma  : les différentes écritures de la somme de $n = a$ à $n = b$ de $u(n)$ déterminent des algorithmes distincts d’exécution et d’efficacité.
Suites : l’auteur propose de définir les suites convergentes comme suites bornées susceptibles d’être réordonnées en suites monotones.

Je regrette l’absence d’une grille qui permettrait de voir comment se répartissent les sujets entre les différents domaines du programme et celle d’un index des noms propres qui donnerait des repères historiques et fournirait des pistes de lecture transversale .

Souhaitons que la lecture de ce triple ouvrage aide les candidats à bâtir, structurer et présenter des solutions solidement étayées qui leur ouvriront toutes grandes les portes du concours.

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