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  APMEP   Exercices de-ci de-là du BV 457

Article du bulletin 457

et solutions des 451-6 et 451-8

Exercices

Exercice 457-1, proposé par Jacques BOROWCZYK (Tours)
Enoncé

Soit un triangle ABC. On considère le trapèze rectangle ayant pour sommets les centres $I _{B}$ et $I_{ C}$ des cercles ex-inscrits dans les angles B et C et les points de contact avec la droite (BC) de ces cercles.
1°) Montrer que le point d’intersection I des diagonales du trapèze est sur la hauteur issue du sommet A.
2°) Si D′ désigne le pied de la bissectrice extérieure issue du sommet A, montrer que la droite (D′I) coupe les bases du trapèze en leur milieu.
3°) Montrer que dans tout triangle ABC, la hauteur issue du sommet A est moyenne harmonique des rayons des cercles ex-inscrits dans les angles B et C.

voir le BV où est publiée la solution

Exercice 457-2, proposé par Madame Fathi DRISSI (Comité de la Régionale Lorraine de l’APMEP)
Enoncé

1°) À l’aide du seul compas, construire le centre d’un triangle équilatéral dont on connaît les sommets A, B et C.
2°) À l’aide du seul compas, construire un point situé au tiers d’un segment [AB] donné.

voir le BV où est publiée la solution

Exercice 457-3, « Olympiades » communiqué par A. OUARDINI
Enoncé

Soit un triangle ABC dont tous les angles sont aigus et dans lequel $AB \ne AC$. Le cercle de diamètre [BC] rencontre les côtés [AB] et [AC] respectivement en M et N.

On note O le milieu du côté [BC]. Les bissectrices des angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{MON}$ se coupent en R. Les cercles circonscrits aux triangles BMR et CNR se rencontreraient- ils en un point du côté [BC] ?

voir le BV où est publiée la solution

Solutions

Exercice 451-6
On considère deux nombres entiers (positifs) a et b tels que $a^2 + 2b$ soit un carré parfait. Mettre $a ^2 + b $ sous la forme d’une somme de carrés d’entiers. (Maillard et Millet, Classe de Mathématiques)

Solution de Maurice BLANPAIN (Pelves - Régionale de Lille) :

$a^2 +2b =c^2$ implique $a^2+b=a^2 +\frac{c^2-a^2}{2}=\frac{a^2 +c^2}{2}=(\frac{c+a}{2})^2 + (\frac{c-a}{2})^2$

Exercice 451-8
Montrer que tout entier impair non divisible par 5 a un multiple dont l’écriture ne comporte que des 1.

Solution de Maurice BLANPAIN :

Il s’agit d’établir que tout naturel n impair non divisible par 5 a un multiple de la forme :

$$ a_{m} =1 + 10 +10^2 +\ldots +10^{m-1}, m \in \mathbb N ^*$$


Soit $r_{ i} , i \in \mathbb N $, le reste dans la division de $10^{i}$ par $n$.
Comme $10$ est premier avec $n$, on peut, en écartant le cas trivial $n = 1$, introduire $θ = ord_{n} (10)$, qui est, dans le groupe multiplicatif $U_{n}$ des éléments inversibles (appelés aussi unités) de l’anneau $\mathbb Z/n \mathbb Z$, l’ordre de l’élément $10$ (c’est-à-dire de la classe $10 + n\mathbb Z)$.
La fonction $i \to r_{ i } $ étant périodique de période $θ$ , le reste dans la division par $n$ de la somme de $ θ $ puissances consécutives de $10$ ne dépend pas de cette somme. Soit $r $ ce reste.
Si $r = 0$ , $a _{θ}$ répond à la question.
Si $r > 0$ , les congruences étant de module $n$, on a pour tout $k \in \mathbb N^*$

$$ a_{k \theta} = \sum_{0 \le i \le k-1} \: \sum_{0 \le j \le \theta -1} \, 10^{i \theta +j} \equiv kr$$

où il reste à choisir $k$ tel que $kr \equiv 0$ , le plus petit de ces $k$ étant $\frac {1}{r} \mathrm ppcm (r,n)$ .
Exemples
1) $ n = 21,\, \theta = 6$ avec $(r_0 ,\ldots , r_5 ) = (1, 10, 16, 13, 4, 19) $ , $\sum \limits_{0 \le i \le 5 } r_{i} = 63 $ , $ r = 0$ :
$a_6 = 111 \,111 = 5 291 \times 21 $.
2) $ n = 33, \, \theta= 2$ avec $(r_0 , r_1 ) = (1, 10)$ ,$\sum \limits_{0 \le i \le 1} r_i = 11$ ,$ r = 11$ : $\frac{1}{r} \mathrm ppcm (r,n)= 3$, $a_{3 \times 2} = 111 \,111 = 3 367 \times 33 $ .

Remarque. L’énoncé plus général où 1 est remplacé par un chiffre quelconque (autre que 0) aurait demandé un surcroît de perspicacité de la part du « solutioniste » consistant à remarquer qu’il suffisait de traiter le cas du chiffre 1.

(Article mis en ligne par Catherine Ranson)
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