par Daniel Perrin [1]

1. Introduction

Ce texte est la rédaction abrégée d’une conférence [2] donnée le 18 mai 2011 dans
le cadre de la journée Maths-Monde [3] de l’IREM de Paris 7. La version longue est
sur ma page web.

J’ai choisi un titre provocateur, mais la question se pose : la géométrie fait-elle
encore partie des programmes du second degré et en fera-t-elle encore partie dans
quelques années ? Lorsqu’on voit les futurs programmes du lycée, on peut en douter.
En effet, les éléments qui faisaient la chair des programmes de géométrie ont presque
tous disparu, en particulier toutes les transformations : un bachelier scientifique ne
saura bientôt plus ce qu’est une rotation (plane), une homothétie, et a peine ce qu’est
une translation [4] sans parler évidemment des similitudes. Bien sur il y a encore les
symétries axiales (en sixième !), et on sait qu’elles engendrent les isométries. Mais,
vu la façon dont on l’esquive en analyse, est-il permis de parler de composition ? Il
ne disposera pas non plus d’un outil important qui pourrait compenser l’absence des
transformations : les cas d’isométrie et de similitude des triangles.
Enfin, s’il y a
encore les vecteurs (repêchés en seconde) et le produit scalaire, il n’y a plus les
barycentres qui en sont une application directe. Bien entendu, il y a déjà belle lurette
qu’il n’y a plus de coniques. Bref, il ne reste plus guère au programme que la partie
calculatoire de la géométrie.

2. Faut-il enseigner la géométrie ?

Face à toutes ces attaques contre la géométrie, il convient de se poser la
question : après tout, n’est-ce pas justifié ? La géométrie n’est-elle pas l’emblème des
mathématiques de papa ? (C’est ce que disait, en substance, Jacques Moisan il y a
peu : Je crois qu’on peut donner une formation d’aussi bonne qualité tant en
contenus qu’en compétences acquises en enseignant les mathématiques discrètes, les
statistiques ou l’algorithmique qu’en enseignant la géométrie d’Euclide ! ).

Je ne suis pas de cet avis. J’ai rédigé en 1999 la partie Géométrie du rapport de
la commission Kahane (voir [Ka]), puis assuré en quelque sorte son service après-vente
et je continue de croire que l’enseignement de la géométrie est nécessaire.

2.1. La géométrie est utile
Faute de place, je ne développe pas ce paragraphe, voir [Ka] ou [web]. L’histoire
regorge d’applications de la géométrie : la construction du tunnel de Samos, la
mesure de la grande pyramide, la première loi de Kepler sur les trajectoires des
planètes (voire des satellites), et bien d’autres encore et il y en a tout autant dans la
vie courante : le déplacement des meubles, la lecture des cartes et des plans,
l’utilisation des antennes paraboliques, l’ingénierie numérique, la CAO, etc.

2.2. Penser géométriquement
Penser géométriquement, en mathématiques et dans les autres disciplines
scientifiques, est un atout fondamental. Je donne ici deux exemples.
2.2.1. En physique : la deuxième loi de Kepler

On sait que la planète M a une trajectoire elliptique dont le soleil occupe un foyer
O. Le long de cette trajectoire, son mouvement n’est pas uniforme, mais la deuxième
loi de Kepler affirme que les aires balayées par le rayon vecteur OM pendant des laps
de temps égaux sont égales.
Newton a prouvé ce résultat à partir de la seule hypothèse de l’existence d’une
force d’attraction centrale, par un raisonnement géométrique. On utilise un modèle
discret avec des laps de temps dt infinitésimaux. On regarde le mouvement pendant
le premier laps de temps, de M à N, puis le deuxième, de N à P, et ce qu’il serait si
la vitesse vectorielle était constante, de N à Q, et on montre que les aires OMN et
ONP sont égales. C’est vrai pour OMN et ONQ par ce que nous appellerons ci-dessous
le lemme de la médiane. À dt près, les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{NP}$ représentent les
vitesses et on a $\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{NQ}$ et la variation de vitesse vectorielle entre les deux laps de
temps, c’est-à-dire l’accélération, est donc $\overrightarrow{QP}$ .
Mais on sait (c’est l’un des apports
essentiels de Newton) qu’elle est proportionnelle à la force, laquelle est centrale,
donc portée par $\overrightarrow{ON}$ . On en déduit que (ON) est parallèle à (PQ) et on conclut que
les aires sont égales par le lemme du trapèze (voir ci-dessous § 4.4 ou [ME]).

2.2.2. En analyse : le pilotage du calcul par la géométrie.
Pour étudier la série de terme 1/n, on la compare à une intégrale et la vision
géométrique avec les aires des rectangles pilote le calcul et notamment
l’encadrement des intégrales. L’expérience m’a montré que les étudiants n’ont pas
spontanément le réflexe de faire ce type de dessin. Il y a en analyse des dizaines
d’exemples élémentaires de cet ordre où la vision géométrique est une aide précieuse
(unicité de la limite, existence de point fixe, méthode du point milieu et des
tangentes, etc.)

S’il est un point dont je suis persuadé, c’est de l’importance de la vision
géométrique en mathématiques. D’ailleurs les étudiants de CAPES d’Orsay (1992)
ne s’y étaient pas trompés. Ils avaient composé une chanson avec un couplet sur
chaque enseignant et le mien commençait ainsi : Avec le p’tit père Perrin, il faut
toujours faire des dessins. J’en ferais volontiers ma devise !

2.3. La géométrie et l’apprentissage du raisonnement
Alain Connes dit : j’ai toujours pensé que l’on progressait davantage en séchant
sur un problème de géométrie qu’en absorbant toujours plus de connaissances mal
digérées et je partage cette opinion. J’ai, avec le CAPES, une longue expérience des
exercices proposés dans le second degré. C’est sans doute en géométrie (et en
arithmétique) qu’on rencontre les problèmes les plus intéressants et les plus
difficiles. Cela me semble important, si l’on veut que les jeunes s’intéressent aux
mathématiques, de leur proposer des contenus qui soient à la fois attractifs et
stimulants.

2.3.1. Quelques principes pour l’apprentissage du raisonnement

Les mathématiques sont un lieu privilégié de l’apprentissage du raisonnement,
mais, pour que cet apprentissage ait lieu, il y a des conditions indispensables que j’ai
envie de résumer en un slogan : il faut faire (vraiment) des mathématiques. Cela
signifie poser et résoudre de vrais problèmes. Si ce qu’on propose aux élèves, ce sont
des exercices trop simples, trop saucissonnés, il ne reste qu’une chose à vérifier c’est
si, sur la question très limitée qu’on leur pose, ils savent donner la réponse attendue,
avec les canons de rédaction attendus. Je vais être brutal. Si c’est cela qu’on fait, et
seulement cela, ça n’en vaut pas la peine. Au contraire, cela va former des
générations de gens pour qui les mathématiques seront synonymes de pensum.

Quelle est ma proposition ? Poser (de temps en temps) des problèmes ouverts
(modestes évidemment), mais où il s’agit de trouver son chemin (pas trop long ce
chemin, mais pas en une seule étape). C’est cela qui permet de chercher, de se
tromper, de raisonner, et c’est ce qui me semble intéressant pour tous les citoyens,
pas seulement les futurs scientifiques.

2.3.2. La droite d’Euler
Je pose souvent l’exercice de la droite d’Euler en donnant seulement la figure ci-dessous,
sur laquelle j’ai fait apparaître trois éléments dignes d’attention (la droite d’Euler, qui est l’objectif, le parallélogramme BA’CH et le triangle AHA’), avec la
consigne de prouver ce qu’on voit sur la figure.

À l’opposé, le texte suivant a été donné par un stagiaire IUFM :

• 1) Montrer que (BH) est perpendiculaire à (AC) et (CH) à (AB).
• 2) Montrer que le triangle AA’C est rectangle en C. En déduire que (A’C) est
  parallèle à (BH).
• 3) Montrer que le quadrilatère BHCA’ est un parallélogramme.
• 4) Montrer le point d’intersection M de (BC) et (HA’) est le milieu de [BC] et de
  [HA’].
  5) Montrer que G est sur (AM), au tiers de [AM] à partir de M et en déduire que
  G est aussi le centre de gravité de AHA’.
• 6) Montrer que G est sur (HO), au tiers de [HO] à partir de O.

C’est exactement ce que je critiquais ci-dessus : avec un tel texte, l’élève devient
une sorte d’OS de la géométrie qui n’a plus que des tâches parcellaires à accomplir,
sans avoir le contrôle de la stratégie globale.

2.3.3. Deux exemples de problèmes de recherche

J’aime bien les deux exemples suivants, d’abord parce qu’ils ne sont pas faciles,
et ensuite parce que, dans les deux cas, de multiples approches sont possibles et que toute initiative raisonnable peut mener au résultat.

Le lieu du centre du cercle circonscrit

Soit ABC un triangle, E un point du cercle circonscrit. La droite (AE) coupe (BC)
en D. Quel est le lieu du centre du cercle circonscrit à BDE quand E parcourt le cercle
(ABC) ?

Les segments décalés

Soit ABC un triangle. Construire des points $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ tels que les
droites (MN) et (BC) soient parallèles et qu’on ait l’égalité de longueurs AN = MB.
(Voir [DPR], il y a au moins neuf méthodes.)

3. La géométrie au collège

Je continue donc de penser qu’il faut faire de la géométrie, et le collège devient
encore plus important pour cela puisqu’il n’y en a plus, ou presque, au lycée. Je suis
assez en accord avec la description de l’activité mathématique qui figure dans le
préambule des programmes de collège :
... identifier et formuler un problème, conjecturer un résultat en expérimentant
sur des exemples, bâtir une argumentation, contrôler les résultats obtenus en
évaluant leur pertinence en fonction du problème étudié, communiquer une
recherche, mettre en forme une solution.

En revanche, la mise en œuvre me semble moins convaincante. Je pense que les
programmes sont, en partie, responsables des dérives évoquées ci-dessus (la
confusion raisonnement-démonstration notamment), parce qu’ils ne fournissent pas
aux élèves les bons outils pour faire de la géométrie.

Dans le cas de la géométrie du collège les outils « pour prouver » sont
essentiellement les suivants : les invariants (longueurs, angles, aires), les cas
« d’égalité » et de similitude, le calcul, les transformations.

La réforme des mathématiques modernes a banni les cas « d’égalité » de notre
enseignement et elle a aussi minoré le rôle de certains invariants comme angle et aire.

Je considère qu’il s’agit d’une erreur et, depuis plus de dix ans, je milite en faveur de
l’usage de ces outils au collège, voir [Ka] ou [DP] par exemple. Il y a de fortes
raisons pour cela : des raisons théoriques, qui tournent autour du programme
d’Erlangen et de la notion de transitivité et des raisons didactiques, qui font que ces
outils sont plus visuels que le calcul et plus commodes à utiliser que les
transformations.

4. Les outils pour prouver : les invariants

4.1. Programme d’Erlangen et transitivité
Le discours dominant à l’époque des mathématiques modernes mettait en avant
le programme d’Erlangen de Felix Klein (1872). L’objectif de Klein était d’unifier
les nombreuses géométries apparues au XIXe siècle : géométries projective, non
euclidiennes, etc. La thèse de Klein c’est qu’une géométrie consiste essentiellement en la donnée d’un ensemble X et d’un groupe g de transformations de X, par
exemple le plan affine euclidien et le groupe des isométries euclidiennes, le plan
affine et les bijections affines, le plan projectif et les homographies.
L’un des intérêts
du programme d’Erlangen est de permettre une classification des résultats. On peut
dire, en quelque sorte, que chaque théorème possède une niche écologique
privilégiée : pour Pythagore c’est la géométrie euclidienne, pour Thalès la géométrie
affine, pour Pappus la géométrie projective. Quand on travaille avec cette
perspective, une notion s’avère essentielle : la transitivité [5] J’en explique le principe
sur l’exemple de la géométrie affine.

• 1) On repère que le problème est un problème affine. Cela signifie qu’il peut
  mettre en jeu les notions d’alignement, de concours, de parallélisme, de milieux, de
  rapports de mesures algébriques sur la même droite ou des droites parallèles, de
  barycentres, de rapports d’aires (mais pas de longueur, d’angle et d’orthogonalité qui
  sont des notions euclidiennes).
• 2) On effectue une transformation affine f de façon à transformer le problème en
  un problème plus simple. Le plus souvent cela revient à traiter un cas particulier du
  problème présentant une propriété euclidienne supplémentaire (on transforme un
  triangle quelconque en un triangle équilatéral, un parallélogramme en un carré, etc.).
  Dans cette phase on utilise des résultats de transitivité du groupe affine, notamment
  sur les triangles.
• 3) On résout le problème ainsi simplifié (y compris, éventuellement, avec des
  outils euclidiens) et on revient au cas initial par la transformation inverse.

Il y a de nombreux exemples de l’utilisation de cette technique. En voici deux qui
concernent les aires. Le premier est le problème des tiers :

Soit ABC un triangle, I, J, K des points situés
respectivement sur les côtés [BC], [CA], [AB] au tiers le
plus proche de B, C, A. Les droites (BJ) et (CK), (CK) et
(AI), (AI) et (BJ) se coupent respectivement en P, Q, R.
Déterminer l’aire du triangle PQR en fonction de celle
de ABC.

L’expérience montre que le rapport est 1/7. Comme
les hypothèses et la conclusion sont affines, on peut se
ramener au cas équilatéral, voir plus loin.

L’exercice suivant est extrait du document d’accompagnement des anciens
programmes de seconde (2000) :
Soit ABCD un parallélogramme et M un point intérieur. Comment doit- on
choisir M pour que les aires des triangles AMB et BMC soient égales ?
L’énoncé du document suggère de commencer par le cas du carré, ce qui est une
bonne suggestion ! En effet, comme les propriétés en question sont affines, on peut transformer la figure par une application affine, ce qui permet de transformer le
parallélogramme en un carré.

Ce qu’on a gagné, dans ce cas, c’est que les côtés AB et BC sont égaux et donc,
pour que les triangles AMB et BMC aient même aire, il faut et il suffit que les
hauteurs MH et MK soient égales, donc que M soit sur la bissectrice de $\widehat{ABC}$. Là se
présente une petite difficulté pour revenir au cas général. En effet, comme la notion
de bissectrice n’est pas affine on ne peut espérer que le lieu cherché soit encore la
bissectrice dans le cas du parallélogramme. Cependant, il se trouve que la bissectrice,
dans le cas du carré, n’est autre que la diagonale, et comme le fait d’être une
diagonale est une propriété qui ne met en jeu que l’incidence, c’est elle qui est
solution.

Commentaire. Ce type de réflexion théorique me semble un objectif important
de la formation des maîtres. En effet, l’intérêt pour le professeur de cette vision des
choses c’est qu’elle lui donne une méthode pour avoir rapidement le résultat. Cela lui
donne un « temps d’avance » sur ses élèves, toujours bien utile. Bien entendu, il faut
ensuite donner une preuve élémentaire des résultats, ce qu’on peut faire avec les
« lemmes du collège », voir plus loin.

4.2. Transitivité, orbites et invariants

En général, l’opération de G sur X n’est pas transitive. Dans ce cas on définit
l’orbite de $ x \in X$ sous G comme l’ensemble de ses transformés g.x. Par exemple, si
X est le plan euclidien et G le groupe des rotations de centre O, les orbites des points
sont les cercles de centre O.

Décrire les orbites et leur ensemble, le quotient X/G, est un problème central en
mathématiques. Pour cela, à un objet $x \in X$ on associe des invariants $\Phi_1(x)$, …, $\Phi_d(x)$
numériques en général. Dire que $\Phi_k(x)$est invariant signifie que l’on a $\Phi_{k}(g.x) = \Phi_{k}(x)$,
autrement dit, si x et y = g.x sont dans la même orbite, ils ont mêmes invariants et un
bon système d’invariants assure aussi la réciproque : si les invariants sont les mêmes,
les objets sont dans la même orbite.

Dans le cas de la géométrie élémentaire, les invariants sont des objets bien
familiers. En effet, le groupe des isométries du plan est transitif sur les points (pour transformer A en B il suffit d’utiliser, par exemple, la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$),
mais pas doublement transitif : étant donnés deux couples de points A, B et A’, B’, il
n’existe pas en général d’isométrie qui envoie A sur A’ et B sur B’, et l’invariant
associé est la longueur AB. De même, pour les couples de demi-droites un invariant
est l’angle, pour les triangles en géométrie affine un invariant est le rapport d’aires.

C’est une évidence que tous ces invariants jouent un rôle essentiel dès qu’on fait
de la géométrie, mais il y a plus. un « méta-théorème » assure que tous les théorèmes
d’une géométrie peuvent être prouvés en utilisant les invariants (voir la Partie II de
mon livre de géométrie projective sur [web]).

4.3. Utilisation de l’outil angle

Dans la pratique, pour que l’utilisation de l’invariant angle soit efficace il est
nécessaire de disposer d’un petit nombre d’accessoires. On peut citer en vrac les
notions de complémentaire et de supplémentaire, la somme des angles d’un triangle,
les propriétés relatives aux parallèles (angles alternes-internes et correspondants), et
enfin, et surtout, le théorème de l’angle inscrit et sa réciproque. Avec ces accessoires,
l’outil devient performant et souple.

Je donne juste un exemple (voir web pour d’autres), le problème du symétrique
de l’orthocentre. Il s’agit du résultat bien connu suivant :
On considère un triangle ABC et son orthocentre H. Montrer que le symétrique
H’ de H par rapport à (BC) est sur le cercle circonscrit.
Pour cela, on va utiliser la réciproque du théorème de l’angle inscrit en montrant
que des angles (potentiellement) inscrits interceptant le même arc sont égaux ou
supplémentaires. Comme il y a dans le quadrilatère ABH’C quatre côtés et deux
diagonales, cela fait six possibilités, logiques a priori. Ce qui est remarquable c’est
que toutes mènent au résultat. Nous allons en traiter deux seulement (voir [DPR]
pour les autres), et seulement dans le cas où l’orthocentre H est intérieur au triangle.
Si l’on n’utilise pas les angles orientés, il faut a priori distinguer les cas de figures.
On note A’, B’, C’ les pieds des hauteurs.

Il suffit, par exemple, de montrer $\widehat{BH’A}=\widehat{BCA}$. Or on a $\widehat{BH’A}=\widehat{BHA’}$ (par la
symétrie) et $\widehat{BCA}=\widehat{BHA’}$ car ces angles sont tous deux complémentaires de C
On peut encore vouloir montrer que les angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{BH’C}$ sont supplémentaires.
Pas de problème, puisque l’on a$\widehat{BH’C}=\widehat{BHC}$ par symétrie et que cet angle est
opposé par le sommet à $\widehat{B’HC’}$ qui est supplémentaire de l’angle en A à cause des
angles droits en B’ et C’.

4.4. Utilisation de l’outil aire

L’usage de l’outil « aire » requiert lui aussi quelques accessoires que, prenant mes
désirs pour des réalités, j’appelle les « lemmes du collège » (voir [ME], mais presque
tous ces lemmes sont dans Euclide).

4.4.1. Les lemmes du collège
Il y en a cinq, tous très simples et qu’on peut montrer en utilisant la formule
base X hauteur/2. Le lemme du parallélogramme affirme qu’une diagonale partage
un parallélogramme en deux triangles de même aire. Le lemme du trapèze dit que
deux triangles de même base, ayant leurs sommets sur une parallèle à la base ont
même aire. Le lemme des proportions affirme que deux triangles dont les bases sont
portées par la même droite et qui ont même sommet ont leurs aires proportionnelles
à la base. Le lemme de la médiane est la variante dans laquelle A’ est le milieu de
[BC]. Enfin, le lemme du chevron montre que les aires des ailes d’un chevron (voir
figure ci-dessous) sont proportionnelles aux segments découpés sur la base (il
s’obtient par différence en appliquant deux fois le lemme des proportions).

4.4.2. Application 1 : Thalès
Toutes les propriétés de géométrie affine plane se démontrent en utilisant les
lemmes précédents. Nous donnons ici deux exemples : le théorème de Thalès et le
problème des tiers, mais on traiterait de manière analogue le concours des médianes,
les théorèmes de Ménélaüs, Ceva, Gergonne, etc. On note A(E) l’aire d’une partie E.

Pour Thalès, on a

et de même

par le lemme des proportions, puis

et

et on conclut par le lemme du trapèze.

4.4.3. Le problème des tiers (suite et fin)

On a vu qu’il suffisait de résoudre le problème dans le cas équilatéral. On dispose
alors d’un outil supplémentaire : les rotations d’angles $±2\pi/3$ qui conservent le
triangle et permutent I, J, K et P, Q, R. On en déduit l’égalité des aires des triangles
gris foncé d’une part et gris clair d’autre part.

On applique alors le lemme du chevron dans
BQC. Comme (QR) coupe (BC) en I qui est au
tiers du segment, on a IC = 2BI et donc l’aile
droite du chevron a une aire double de l’aile
gauche, ce qui montre que les aires foncées sont
aussi égales à l’aire blanche de PQR.

Mais alors, le lemme des proportions, appliqué
dans CQR, montre que l’on a PQ = PC, et en
l’appliquant une dernière fois au triangle AQC on
en déduit que les aires claires et foncées sont
égales. Tous les petits triangles ont donc même
aire et comme il y en a sept, on a le résultat

5. Les outils pour prouver : les cas d’isométrie

Les cas d’isométrie des triangles étaient un des outils essentiels des collégiens
d’autrefois pour faire de la géométrie. Bannis par la réforme des mathématiques
modernes, ils ont fait leur réapparition en seconde en 2000, avant d’être balayés par
les dernières modifications de programmes. Pourtant, il y a en leur faveur de bons
arguments, à la fois théoriques et didactiques.

Côté théorique, on a vu que le problème de la transitivité de l’action d’un groupe
est fondamental. Or, que font les cas d’isométrie des triangles ? Ils décrivent
exactement les orbites du groupe des isométries dans son action sur les triangles en
donnant des critères commodes qui permettent d’affirmer l’existence d’une isométrie
échangeant deux triangles (avec comme conséquence l’égalité des éléments autres
que ceux utilisés) sans être obligé, comme c’est le cas actuellement, d’exhiber
celle-ci. D’ailleurs leur démonstration est une parfaite illustration de ce principe de
transitivité : on envoie un sommet sur un autre, puis une demi-droite sur une autre,
etc. et peu importe quelle est la transformation finale. Parodiant le célèbre sketch de
Pierre Dac et Francis Blanche on pourrait avoir ce dialogue :
- Votre sérénité, pouvez-vous envoyer ce triangle ABC sur cet autre triangle
A’B’C’ ?
 Oui
 Vous pouvez le faire ?
 Oui |
 Il peut le faire ! On l’applaudit bien fort.

Côté didactique, je me contenterai d’un exemple très simple, mais il y en a
beaucoup d’autres. J’espère ainsi convaincre le lecteur de l’efficacité des cas
d’isométrie des triangles, par rapport à l’usage direct des transformations. En vérité,
dans le plan, comme on connaît toutes les isométries, il est toujours possible de
repérer laquelle employer. En revanche, ce qui est plus délicat c’est de prouver
qu’elle fait bien ce qu’on suppose. On y arrive, mais c’est souvent lourd et, presque
toujours, inutile. Voici l’exercice :

Soit ABC un triangle isocèle avec AB = AC > BC. On prolonge les segments
[AB] et [BC] par [BD] et [CE], avec BD = CE = AB-BC Montrer que ADE est
isocèle.

C’est très facile avec les cas d’isométrie. En effet, on considère ACE et EBD. Ils
sont isométriques (deux côtés et un angle). On a donc AE = DE.

Bien entendu, on peut aussi traiter le problème par les transformations. Il suffit
de trouver la transformation qui passe de ACE à EBD. L’examen du sens des angles
montre que c’est une rotation. On peut donc la trouver comme composée de deux
symétries en introduisant le point F symétrique de E dans la symétrie $\sigma_1$ par rapport
à la médiane-hauteur de ABC. On compose ensuite par la symétrie $\sigma_2$ par rapport à
la bissectrice de et F vient en D (la droite (BC) vient sur (AB) et précisément
la demi-droite [BC) sur [BA) et on conclut en utilisant BF = BD). On en conclut que,

si $\rho= \sigma_2\sigma1 $, on a $\rho(E) = D$. Par ailleurs, on a $\sigma_{1}(A) = A$ et $\sigma_{2}(A) = E$ (car le triangle
ABE est isocèle en B, donc la bissectrice est axe de symétrie). On a donc aussi
$\rho(A) = E$ et, en définitive, EA = DE.

On peut faire plusieurs critiques à cette preuve.
 0) Elle est beaucoup moins visuelle. C’est un fait relevé par de nombreux
psychologues que, pour les jeunes enfants, les surfaces (ici les triangles pleins) sont
plus faciles à percevoir que les lignes ou les points.
 1) Il faut déjà repérer quelle est la transformation pertinente.
 2) Elle nécessite une construction supplémentaire (le point F).
 3) Elle est nettement plus compliquée (voir la discussion sur les demi-droites) et
nécessiterait de donner des indications aux élèves.

Cet exemple montre que l’utilisation des cas d’isométrie, au collège, est souvent
plus commode que celle des transformations Mais, en vérité, le problème est
maintenant bien plus grave : avec les nouveaux programmes, cet exercice (et la
plupart de ceux évoqués dans ce texte) ne pourrait plus être donné nulle part. En
effet, il n’y a plus les cas d’isométrie, et il n’y aura bientôt plus les transformations.

6. Des propositions

Envers et contre tout, je maintiens qu’il faut faire de la géométrie au collège et au
lycée et d’abord réhabiliter Euclide. Cela recouvre deux propositions, d’ailleurs
modestes, qui concernent le collège :
 Mieux utiliser les invariants, longueurs, et surtout angles et aires, ainsi que leurs
accessoires, voir notamment les « lemmes du collège » ci-dessus.
 Réintroduire les cas d’isométrie des triangles dès le collège. D’abord, comme
j’ai tenté de le montrer, c’est un bon outil, et surtout, s’il n’y a plus les
transformations et pas les cas d’isométrie, il n’y a plus rien pour faire de la
géométrie. De plus, ils ne sont pas si loin (voir, en cinquième, le paragraphe du
programme sur la construction d’un triangle à partir de trois de ses éléments). Si
j’insiste sur ce point c’est qu’il est urgent par rapport à la formation des maîtres, sujet
qui me concerne au premier chef. Il y a déjà eu toute une génération de professeurs
qui ne savaient plus utiliser les cas d’isométrie, n’en créons pas une autre.

Par ailleurs, il y a au moins deux points sur lesquels il est possible de dépasser
Euclide, mais qui sont aussi en train de disparaître des programmes.
 Les invariants orientés (vecteurs et angles). On sait combien les vecteurs sont
utiles en physique. Dans le cas des angles, l’usage des angles orientés est essentiel pour définir les rotations.

Attention toutefois, je suis partisan de ne pas les introduire trop tôt, et avec
modération. Au collège et au début du lycée, les angles non orientés sont bien
suffisants. Ce n’est que lorsqu’on se sera confronté au problème des cas de figures
que l’on pourra songer à parler d’invariants orientés.
 La notion de groupe, et, avant, les transformations ! On a vu que c’est le
fondement de la géométrie au sens de Klein. Il faut lui laisser le temps d’apparaître
à son heure, sans doute à la toute fin du lycée, mais il n’est pas normal que, sur ce
point, notre enseignement secondaire en soit revenu à une situation plus archaïque
que celle des années 1960, voire d’avant-guerre.

7. Un peu de polémique

On l’aura compris, je considère que les derniers programmes de mathématiques
des lycées, particulièrement en géométrie, sont lamentables. Il est temps de
s’interroger sur les raisons de cette situation.

La première raison invoquée pour diminuer la place de la géométrie est générale
et politique : c’est la diminution imposée de l’horaire de mathématiques, notamment
en première. C’est une réalité. On peut s’interroger sur le pourquoi de cet état de fait
et évoquer plusieurs raisons, que je cite en vrac sans nécessairement les reprendre à
mon compte :

• a) Les classes de S ne sont plus des classes scientifiques, mais des classes
  généralistes.
• b) Il y a actuellement un courant anti-sciences qui se manifeste tant sur le plan
  philosophique (le courant post-moderne, la remontée du fait religieux), que politique
  (la mise en cause – justifiée ? – de la science comme facteur de progrès, voir les
  débats sur le nucléaire, les OGM, la santé, etc.).
• c) Dans le cas particulier des mathématiques, au point précédent s’ajoute le
  discours de certains collègues (je pense à Claude Allègre).
• d) Il y a une méfiance, voire une animosité, du public pour les mathématiques
  parce que c’est un instrument de sélection.
• e) Ce qu’on fait en mathématiques dans le secondaire est de plus en plus
  ennuyeux, tant par les thèmes choisis que par la pratique (y compris en géométrie).

Un autre point concerne la démocratie. Depuis la suppression du Conseil
National des Programmes en 2002, les programmes sont retombés dans l’escarcelle
de l’inspection générale et leur élaboration y a perdu en transparence et en débats. Au
moins, quand le CNP et ses divers groupes techniques existaient, il y avait un endroit
où l’on pouvait débattre, c’est-à-dire éventuellement s’engueuler quand on n’était
pas d’accord, avec toute la clarté nécessaire [6].

Maintenant, ce n’est plus le cas. La procédure consiste en des consultations dont
je persiste à penser qu’elles sont factices : si on regarde ce qu’ont laissé filtrer les
premiers auditionnés sur les programmes de terminale, on voit qu’il y a eu peu de
changement depuis. Cette absence de démocratie est la porte ouverte au lobbying et
nos collègues, informaticiens et statisticiens notamment, ne s’en privent pas [7].

Un des arguments avancés est qu’il faut faire de la place pour de nouveaux
domaines, notamment probabilités, statistiques, algorithmique. Je n’ai évidemment
rien contre ces domaines, et je reconnais qu’ils étaient, jadis, mal-aimés, voire
absents. Cela étant, il me semble que le rattrapage a déjà été conséquent.

Cela ne concerne d’ailleurs pas seulement la géométrie. Par exemple, du côté des
mathématiques appliquées, on a supprimé les équations différentielles [8]. C’est
vraiment penser que seules les statistiques et les probabilités ont des applications et
c’est une vision très discutable des mathématiques [9] C’est sur ce type de questions
que la démocratie est indispensable : aucun mathématicien actuel, je dis bien aucun,
ne dispose d’une vision exhaustive de sa discipline et de ses applications et il est
nécessaire d’entendre plusieurs voix pour prendre des décisions.

Sur ce plan, il y a d’ailleurs une incohérence totale à renforcer toujours plus les
programmes du lycée en probabilités et statistiques, alors que ceux des classes
préparatoires (au moins les classes MP) sont toujours désespérément vides Il paraît que cela va changer, auquel cas c’est l’ordre dans lequel sont faites les choses qui
me semble aberrant.
de ce
côté là !

Un dernier point, Brassens l’a dit : le temps ne fait rien à l’affaire, mais je crois
qu’il y a tout de même un problème de génération : les gens qui arrivent maintenant
aux commandes ont été, pour nombre d’entre eux, formés à l’époque des
mathématiques modernes, donc à un moment où la géométrie était jetée aux
oubliettes. Cela se sent dans leurs décisions : ils n’ont pas, inscrit dans leurs gènes,
la conviction de l’importance de la pensée géométrique.

8. Références

 [DPR] DUPERRET Jean-Claude, PERRIN Daniel, RICHETON Jean-Pierre, Une
illustration du rapport sur la géométrie de la commission Kahane : analyse de
quelques exercices de géométrie, Bull. APMEP 435, 2001.
 [Ka] KAHANE Jean-Pierre (dirigé par), L’enseignement des sciences
mathématiques, Odile Jacob (2002).
 [Kl] KLEIN Felix, Le programme d’Erlangen, Jacques Gabay (1991).
 [ME] PERRIN Daniel, Mathématiques d’École, Cassini (2005).
 [DP] PERRIN Daniel, Des outils pour la géométrie à l’âge du collège :
invariants, cas d’isométrie et de similitude, transformations. Repères IREM, 53,
p. 91-110, 2003.
 [web] Ma page web http://www.math.u-psud.fr/~perrin/conferences.html

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