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  APMEP   La possibilité des nombres.

Article du bulletin 513

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Marc Roux

- 22 avril 2015 -

par Frédéric Patras.

PUF, 2014.

350 pages 12,5 x 19. Prix : 24 €

ISBN : 978-2-13-063167-5

Qu’est-ce qu’un nombre ? L’auteur, mathématicien et philosophe, apporte un regard historique sur les multiples réponses qui ont été apportées, au cours des siècles, à cette question d’apparence anodine et naïve : déjà les grecs voulaient « penser la nature des nombres ». Il discute leurs légitimités, leurs contradictions, leurs cercles vicieux, leurs insuffisances, non sans donner son propre point de vue rigoureusement argumenté : il écarte le formalisme hilbertien comme le platonisme strict, et réhabilite la place de l’intuition dans le processus mathématique. Il rejoint ainsi parfois Stanislas Dehaene qui, dans sa belle conférence d’ouverture des journées nationales de l’APMEP (Toulouse 2014 ; cf. page 197 de ce Bulletin), a apporté des indices d’existence de réseaux neuronaux dédiés à l’activité numérique. Parmi les nombreux auteurs cités et commentés, ressortent particulièrement Frege et Husserl. Si le sujet essentiel est le concept de nombre naturel, l’auteur évoque aussi la construction des autres ensembles de nombres : rationnels, réels, complexes, sans jamais évoquer toutefois les infiniment grands et infiniment petits de l’analyse non-standard.

Entre une Introduction et un Épilogue, les quatorze chapitres de l’ouvrage ont pour titres :
I. L’influence durable du pythagorisme ; II. L’un et le multiple ; III. Mathématiques et réalité : IV. L’argument du troisième homme ; V. Nombres et grandeurs ; VI. Les nombres généralisés I ; VII. Les nombres généralisés II ; VIII Cantor et la théorie des ensembles ; IX. Le logicisme de Frege ; X. La théorie des ensembles chez Frege ; XI. Axiomes et formalismes ; XII. Cerveau et processus cognitifs ; XIII. Phénoménologie des nombres ; XIV. Phénomènes universels, algèbre, catégories. Une importante Bibliographie et un Index complètent le tout.

Cet ouvrage est savant mais néanmoins accessible à tous : les rares mots du vocabulaire spécialisé sont définis en note, le style est direct, les exemples simples et nombreux. Les fréquentes et longues citations des textes originaux sont soigneusement expliquées, les différences et les points communs des diverses théories sont bien mis en évidence : cette lecture fait partie de celles, trop peu nombreuses, dont on ressort intellectuellement enrichi. Tout lecteur, philosophe ou non, mathématicien ou non (ici, aucun calcul, aucune démonstration compliquée), mais intéressé par les questions de fondements du savoir, devrait, au prix d’un peu d’attention et de réflexion, en retirer d’abord une connaissance historique et théorique de nombreux systèmes de pensée, mais aussi et surtout une clarification, et parfois une évolution, de sa propre conviction sur ces problèmes.

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