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  APMEP   Le calcul des tresses

Article du bulletin 465

Dehornoy Patrick

Résumé de l’article

Les tresses ont une structure mathématique. Elles généralisent les entiers : Il existe des algorithmes de calcul pour les tresses. Une tresse étant une suite de croisements, l’auteur définit le groupe des tresses à 2 brins, isomorphe à l’ensemble des entiers relatifs, qu’il généralise pour tout entier n. Il définit le codage des tresses, chaque tresse étant codée par une succession de lettres – un mot, puis l’isotopie des tresses qui permet de les classer, et à reconnaître si une tresse est "triviale" ou pas (c’est-à-dire si on peut la "démêler"). Ensuite, on introduit la notion de « poignée » et la réduction des poignées qui amène à l’algorithme de réduction des mots. Les applications : le groupe des tresses est une extension du groupe symétrique, et se rattache à la théorie de Coxeter et en physique à la théorie de la cohomologie, il a un lien avec la théorie des noeuds et il a une application récente en cryptographie, relativement élémentaire, mais encore incomplètement maitrisée.

Plan de l’article

  • Introduction
  • Le groupe des tresses
  • Le codage des tresses
  • L’isotopie des tresses
  • Classification des tresses
  • Réduction des poignées
  • Implémentation de l’algorithme de réduction des mots
  • Pourquoi étudier les tresses ? Applications.
  • Bibliographie

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(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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