par Jacques Lucet [1]

Préambule

Soit les points distincts $A$, $B$, $C$ et $D$ de l’espace $\mathbb R^3$. Soit aussi les réels $\lambda$ et $\mu$ non nuls et différents de 1.

Posons M = ($A(\lambda$),$B(1 - \lambda$))
c’est-à-dire que le point $M$ est le barycentre des points $A$ et $B$ affectés respectivement des coefficients $\lambda$ et $1 − \lambda$.

Posons encore :
$N$ = ($C(1 − \lambda$),$D(\lambda$))
$P$ = ($A(\mu$),$D(1 − \mu$))
$Q$ = ($B(\mu$),$C(1 − \mu$))
$R$ = ($M(\mu$),$N(1 − \mu$)).

• Montrer que l’on a $R$ = ($P(\lambda$),$Q(1 − \lambda$)) en utilisant le théorème d’associativité
• En déduire que les droites $(MN)$ et $(PQ)$ sont concourantes.

Condition nécessaire et suffisante pour qu’un point appartienne à la surface $S$ d’équation $z = xy$

Soit les points $A$(1,1,1), $B$(−1,1,-1), $C$(−1,−1,1) et $D$(1,−1,−1) dans un repère orthonormé $(O,x,y,z)$ : ce sont quatre sommets d’un cube comme représenté ci-contre.

• Vérifier que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent à la surface $S$ d’équation $z = xy$.

• Vérifier également que les points $M$, $N$, $P$ et $Q$ définis dans le préambule appartiennent aussi à la surface $S$ quels que soient les réels $\lambda$ et $\mu$.

• En déduire que les quatre droites $(AB)$, $(AD)$, $(CD)$ et $(CB)$ sont tout entières contenues dans la surface $S$.

• Prouver enfin que le point $R$ appartient à la surface $S$ ; que dire des droites $(MN)$ et $(PQ)$ ?

• Réciproquement, montrer que tout point $R$ de la surface $S$ se trouve sur deux droites $(MN)$ et $(PQ)$ s’appuyant sur les côtés du quadrilatère $ABCD$ et entièrement contenues dans la surface $S$.

La surface $S$ est donc l’ensemble des points $R$, intersection chacun de deux droites $(MN)$ et $(PQ)$ telles que décrites précédemment. On dit que la surface $S$ est engendrée par de telles droites. L’utilitaire Excel va nous permettre d’en visualiser quelques unes formant un maillage.

Représentation d’une portion de la surface $S$

Dans un tableur, indiquer en première ligne à partir de la cellule B1, puis en première colonne à partir de la cellule A2, les réels de $−1$ à $1$ avec un pas de $0,1$.

• Dans la cellule B2, recopier la formule indiquée établissant le produit des cellules A2 et B1 et étendre cette formule avec la souris jusqu’à V2, puis V22.

• Cliquer sur l’icône de l’assistant graphique et choisir « Surface » de manière à obtenir le dessin ci-dessous.

  

• Faire tourner la surface en cliquant sur l’un des sommets du cube et en laissant enfoncé le bouton gauche de la souris.

Intersection de la surface $S$ avec des plans particuliers

Si l’on pose $z = f (x,y) = xy$,

• Comparer $f(x,y)$ et $f(-x,-y)$
• En déduire une propriété géométrique de la surface $S$.
• Quelle est l’intersection de la surface $S$ avec le plan $(xOy)$ ? Montrer que l’intersection de la surface $S$ avec un plan parallèle au plan $(xOy)$ et différent du plan $(xOy)$ est une hyperbole.
• Montrer que l’intersection de la surface $S$ avec un plan parallèle au plan $(zOy)$ ou au plan $(zOx)$ est une droite.
• Montrer enfin que l’intersection de la surface $S$ avec le plan d’équation $ x − y = 0$ est une parabole.

On dit que la surface $S$ est un paraboloïde hyperbolique.