Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 488-1 (Question de Louis-Marie Bonneval)

Le Bon, la Brute, le Truand s’affrontent dans un ultime combat. Ils sont d’habiletés inégales : le Bon atteint sa cible deux fois sur trois, la Brute une fois sur deux, le Truand une fois sur trois. Le combat se déroule en rounds successifs où chacun vise son adversaire le plus dangereux, et où ils tirent en même temps (à chaque round, les
résultats des tirs sont donc indépendants). Ces rounds se répètent tant qu’il reste au moins deux adversaires. Quelle est la probabilité pour chacun de gagner le combat ? Quelle est la probabilité qu’il n’y ait aucun survivant ? Combien de rounds peut-on s’attendre à ce que dure le combat ?

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Problème 488-2
Soit u la suite définie par $u_0$ = 1 et $u_{n+1}=4u_n+\sqrt{15 u_n^2+1}$ . Cette suite est-elle à valeurs entières ?

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Problème 488-3
Pour un entier n > 6, on note P(n) l’ensemble

$$\left\{ k\in [1] \ | \ pgcd(n,k)=1 \right\}.$$

Trouver les n pour lesquels les éléments de P(n) sont en rogression arithmétique.

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Solutions des problèmes antérieurs

Problème 479-6 (Olympiades internationales 2008)

Soit ABCD un quadrilatère convexe tel que AB $\ne$ BC. Les cercles inscrits dans les triangles ABC et ADC sont notés respectivement $\Omega_1$ et $\Omega_2$. On suppose qu’il existe
un cercle $\Omega$ qui est tangent à la demi-droite [BA) au-delà de A, tangent à la demi-droite [BC) au-delà de C et qui est aussi tangent aux droites (AD) et (CD). Montrer que les tangentes communes extérieures à $\Omega_1$ et $\Omega_2$ se coupent en un point de $\Omega$.

<redacteur|auteur=500>