Les problèmes du BV 498 et solution des 491-1, 492-1, 492-2

Sommaire

Énoncés des nouveaux problèmes
Solutions des problèmes antérieurs

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 498 - 1 (Michel Lafond (Dijon))

Un entier naturel est dit « quarrable » s’il est la somme des chiffres d’un carré parfait (en base 10). Par exemple, l’entier 22 est quarrable puisque

$$22=5+4+7+6 \ \ \ \ \text{et} \ \ \ \ 5476=74^2$$

Caractériser la suite (0, 1, 4, 7, 9, 10, 13, …) des entiers quarrables.

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Problème 498 - 2 (Georges Kocher (Ravières))

Pour trois réels strictement positifs a, b, c dont la somme vaut 1, prouver l’inégalité

$$\left( 1+\frac{1}{a}\right)\left( 1+\frac{1}{b}\right)\left( 1+\frac{1}{c}\right)\le 64$$

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Problème 498 - 3

Tout polynôme non nul a-t-il toujours un multiple qui soit polynôme en $X^{1000000}$ ?

L’énoncé qui suit m’a été signalé par Fernand Canonico (Clermont-Ferrand) et Laurent Germa (Orcines). Je les en remercie vivement.

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Problème 498 - 4

Soit a, b deux réels, avec a < b.
On considère une application f : [a, b] $\rightarrow \mathbb C$ dérivable sur le segment [a, b]. On note D l’image du segment [a, b] par l’application dérivée
f’, et C désigne l’enveloppe convexe de D. Montrer que le rapport $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ appartient à l’adhérence de C.

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Solutions des problèmes antérieurs

Problème 491 - 1

Soit F la suite de Fibonacci définie par $F_0= 0, F_1= 1 \text{ et } F_{n+2}= F_{n+1}+ F_n$.
Montrer que pour n ≥ 1, $\prod_{k=1}^n F_k \le \frac{1}{n !}\exp(F_{n+4}-2n-3)$.

Solution de Robert Bourdon (Tourgeville) et de Jean-Claude Carréga (Lyon)

Problème 491-2 (Question de Fernand Canonico)

Soit P un polynôme complexe de degré n ≥ 1. Pour $\omega \in \mathbb C$ , soit $v_\omega$ le nombre de
solutions complexes de l’équation $P(z) =\omega$. Montrer que

$$\sum_{\omega \in \mathbb C} (n-v_\omega)=n-1.$$

Solutions d’Alexandre Benchaouine (Chamalières), de Jean-Claude Carréga (Lyon), de George Lion (Wallis) et d’Éric Oswald (Borgo)

Problème 492-1

Trouver tous les polynômes complexes P tels que si |z| = 1 alors |P(z)| = 1.

On peut résoudre ce problème par la simple résolution d’un système. C’est ce que proposent Éric Oswald et Pierre Renfer. On note $\mathcal U$ l’ensemble des nombres complexes de module 1. Soit P $\in \mathbb C$ [X] tel que $P( \mathcal U ) \subset \mathcal U$

Solutions de Raymond Heitz (Lavergne), Éric Oswald (Borgo), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Lazare Georges Vidiani (Fontaine Les Dijon)

Raymond Heitz affirme [1] qu’un polynôme P solution au problème doit vérifier P(0) = 0. On écrit donc $P(X) = XP_1(X)$ et $P_1$ vérifie la même propriété, mais est de degré strictement inférieur. En itérant le phénomène, on arrive à

$$P(X) = XP_1(X) = X^2 P_2(X) = … = X^n P_n(X)$$

où $P_n$ est un polynôme constant, nécessairement un complexe de module 1.

Problème 492-2 (Question de Michel Lafond)

Soit P et Q deux polynômes réels du second degré. On suppose que les suites $(P(n))_{n \in \mathbb N^*}$ et $(Q(n))_{n\in \mathbb N^*}$ sont strictement croissantes et sans terme commun. On intercale ces deux suites pour obtenir la suite u = (1, 2, 8, 10, 18, 25, 32, 46, …).