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  APMEP   Mathématiques et frontières

Article du bulletin 518

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Marc Roux

- 23 mai 2016 -

Par Gabriel Baudrand

L’Harmattan 2015 - Collection Eidos

104 pages en 13,5 x 21,5. Prix : 12,50 €.

ISBN : 978-2-343-07951-6

Cet ouvrage fait partie d’une série intitulée Recherches Esthétiques et Théorétiques sur les Images Nouvelles et Anciennes (RETINA)  ; il est le 49ème du groupe de recherche « Frontières  ». L’auteur est enseignant en CPGE à Amiens.

Il s’agit d’une « rêverie » à partir du mot « frontière » et des significations qu’il peut avoir en mathématiques et ailleurs, sans oublier la frontière entre le monde mathématique et les autres domaines intellectuels.

L’accent est mis sur les correspondances fortes entre ces différentes acceptions, et sur l’aspect positif qu’offre tout franchissement de frontière.

Après une Introduction,

  • le Chapitre 1 : Définition de la frontière apporte le vocabulaire de base de la topologie, avec claire différenciation entre, d’une part, le terme « ouvert », présent dans l’axiomatique, et de ce fait vidé de sens, mais néanmoins choisi pour suggérer des analogies avec le vocabulaire courant ; et d’autre part les termes comme « frontière », « intérieur », « fermeture  », dont des définitions rigoureuses sont données, et les propriétés démontrées. Restant dans le cadre de la topologie classique de $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{R}^2$, l’auteur présente des « frontières pathologiques », telles celle de $\mathbb{Q}$, qui n’est autre que $\mathbb{R}$, d’intérieur non vide, alors que $\mathbb{Q}$, lui, est d’intérieur vide. À travers les topologies induites, il évoque les changements de point de vue. Toutes ces notions sont assorties d’analogies ou métaphores dans d’autres domaines de la pensée : philosophie, géopolitique, psychisme, … Un bel exemple à mon avis : pour l’observateur extérieur, la frontière de ma vie est la paire ma naissance, ma mort ; mais pour mon vécu subjectif, doté de la topologie induite, cette frontière est vide !
  • Le Chapitre 2 : La frontière fractale, se limite aux exemples des ensembles de Julia et de Mandelbrot, mais les définit de façon précise. Le propos s’appuie sur des illustrations de grande qualité. On y découvre bien des propriétés, pas forcément connues du lecteur, où la notion de frontière joue un rôle central. L’ensemble de Mandelbrot est rapproché de l’Aleph de J.-L. Borges, « le lieu de l’univers où se trouvent, sans se confondre, tous les lieux de l’univers, vus de tous les angles ». Le titre du Chapitre 3 : Les mathématiques comme franchissement de frontières, est illustré par trois exemples : franchissement de la frontière de la signification, pour la notation $a^n$, lorsque $a$ cesse d’être un naturel  ; franchissement de la frontière géométrie/ algèbre, et de celle de la représentabilité, par la géométrie analytique et les espaces de dimension supérieure à 3 ; franchissement de la frontière de la création enfin, par Dedekind, qui, selon l’auteur, ne se contente pas de construire mais crée les réels.
  • La Conclusion est un appel au franchissement de la frontière entre les mathématiques et les autres disciplines de réflexion. Même si certaines analogies sont un peu « forcées », réussir en si peu de pages à combiner un apport de connaissances mathématiques (accessibles à tout lecteur) avec des réflexions profondes sur le vocabulaire, sur les pratiques de la pensée, sur les différences et les proximités entre des disciplines rarement convergentes, est un véritable exploit, qui mérite bien deux heures de lecture.
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