Maëlle Nodet [1] & Antoine Rousseau [2]

Introduction

Les études actuelles en sciences de l’environnement sont réalisées autour d’une
multitude de situations environnementales concrètes et locales, auxquelles l’Homme
doit faire face par nécessité. Parmi les grands problèmes actuels, on peut citer le
changement climatique bien sûr, mais aussi les risques environnementaux, qu’ils
soient météorologiques/océanographiques (tempêtes, pollution), hydrologiques
(inondations, état des ressources en eau, pollution), géophysiques (glissements de
terrain, avalanches), … La multiplicité des causes, des échelles (spatiales et
temporelles), des conséquences (sociales, économiques, biologiques, zoologiques,
etc.) rendent difficiles d’appréhender, comprendre, modéliser et tenter de résoudre les problèmes dans leur globalité.

Les géophysiciens spécialisés dans ces disciplines s’intéressent naturellement à ces
problèmes, dont ils cherchent à mieux comprendre les processus d’une part et à
prévenir et limiter les conséquences d’autre part. Les mathématiciens appliqués
jouent ici un rôle important, car ils travaillent de concert avec les physiciens pour
leur apporter des outils adaptés. Deux branches principales de recherche en
mathématiques pour l’environnement sont la modélisation et l’assimilation de données.

La modélisation consiste à décrire en termes mathématiques et numériques le
processus physique étudié, afin de pouvoir faire des simulations et l’étudier en
profondeur. C’est la première étape du travail, qui nécessite une synergie entre
physiciens et mathématiciens. L’assimilation de données consiste en une utilisation
optimale de toutes les informations disponibles sur le processus (équations issues de
la modélisation, mesures et observations, entre autres) afin par exemple d’améliorer
les modèles, ou bien de pouvoir faire des prévisions dans le futur, ou encore de faire
des choix entre diverses politiques environnementales.

Cet article présente brièvement ces deux aspects de la recherche en mathématiques
appliquées pour l’environnement.

Modélisation

La modélisation mathématique est l’étape initiale de la simulation d’un processus
physique, chimique, biologique, etc. Elle consiste à traduire en équations la description phénoménologique du processus considéré (voir encadréci-dessous), puis
à en faire l’analyse mathématique (existence, unicité, régularité des éventuelles
solutions).

La mise en équations repose par exemple (c’est le cas en géophysique) sur l’écriture
d’un bilan des forces à partir de grandes lois de la physique. En fonction de la
précision de la description du phénomène étudié, le modèle mathématique qui en
découle peut être plus ou moins complexe. Les modèles les plus simples font
intervenir des systèmes linéaires d’équations différentielles, mais la recherche
actuelle se situe plutôt autour d’équations aux dérivées partielles non linéaires (voir
par exemple [3]). Il y a donc un compromis à trouver entre des modèles extrêmement
détaillés (mais qui sont mathématiquement trop complexes pour être analysés) et des
modèles mathématiquement simples à étudier (mais qui sont physiquement
irréalistes). Les chercheurs(euses) en mathématiques appliquées travaillent donc à
améliorer la « compréhension mathématique  » de processus de plus en plus
complexes, que l’on peut même coupler entre eux (comme dans le cas du système
océan-atmosphère).

À titre d’exemple, souvenons-nous que les
équations de Navier-Stokes qui décrivent
l’écoulement de l’eau (ou d’un fluide en
général) dans l’espace à 3 dimensions n’ont
toujours pas livré tous leurs secrets
mathématiques [3]. Et pourtant, elle coule !

Les solutions des équations que l’on
considèrent, en admettant qu’elles ont toutes les
bonnes propriétés (existence, unicité,
régularité), sont très rarement explicites  : il
convient donc de les simuler numériquement
pour pouvoir étudier leur comportement. C’est
l’objectif des modèles numériques  : ils sont
obtenus à partir des équations continues en
effectuant une discrétisation du domaine de
calcul (voir figure ci-contre.).

Une fois le domaine de calcul « coupé en morceaux », les opérateurs différentiels qui
apparaissent dans les équations sont approchés par des opérateurs matriciels (grâce
notamment à la méthode d’Euler, voir encadré ci-dessous) qui peuvent ensuite être
traités par ordinateur. Il y a là aussi toute une communauté de chercheurs qui
travaillent à améliorer la précision des modèles numériques sans en augmenter le
coût de calcul. En effet, étant données la complexité des phénomènes modélisés et la
précision de calcul recherchée pour ces modèles, on arrive facilement à des matrices
de taille 10 7 ou plus. Dès lors, on comprend tout à fait la nécessité d’être astucieux
dans le développement de méthodes numériques, même sur des super-calculateurs !

Piste d’utilisation en classe : modélisation de l’équation de transport

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Assimilation de données

L’assimilation de données est l’ensemble des méthodes mathématiques et
numériques permettant de combiner de manière optimale l’information dont on
dispose sur un système physique donné, à savoir les équations mathématiques du
modèle, les observations ou mesures physiques du système, et les statistiques sur les
erreurs commises. Il s’agit d’un problème inverse ! En effet, pour un problème direct,
on connaît les variables dites d’état du système(par exemple la vitesse des courants,
la température, la salinité dans l’océan) et on en calcule des observations, qui sont
des fonctions (en général non surjectives, et non injectives) de ces variables d’état,
par exemple la densité ou des trajectoires de flotteurs dérivants. Pour un problème
inverse, on fonctionne à rebours : on observe des mesures, fonctions indirectes non
bijectives des variables d’état, et on cherche à reconstituer au mieux ces variables,
sachant que des erreurs de mesures ont été commises, et que le système obéit à un
ensemble de lois physiques et d’équations mathématiques (le modèle). C’est ce que
l’on appelle le couplage modèle-données, ou encore l’assimilation de données.

Le problème de couplage modèle-données peut se formuler comme un problème
d’optimisation (voir par exemple [4] et [5]). La première étape pour formuler ce
problème est d’identifier les paramètres les plus influents sur la qualité de ce que l’on
cherche. Par exemple, en météorologie, pour faire des prévisions, on cherche le
meilleur état initial possible, en raison notamment de l’effet papillon, autrement dit
du caractère chaotique de la dynamique de l’atmosphère, qui présente une grande
sensibilité aux conditions initiales. On appelle x le vecteur des paramètres influents.
On forme ensuite l’opérateur d’observation G, qui utilise entre autres le modèle pour
envoyer un vecteur de paramètres x dans l’espace des observations. Si y est le vecteur
des observations, y et G(x) sont donc de même nature, et on va chercher le meilleur
x, au sens où l’écart entre les observations y et leur équivalent issu du modèle G(x)
soit le plus petit possible, autrement dit on minimise le critère $J(x)=||G(x)-y||^2$ .

La minimisation se fait de manière itérative : on commence avec une ébauche de x,
et on ajuste x par une méthode de descente de type quasi-Newton, de sorte que l’écart
J(x) décroit à chaque itération. On s’arrête quand on s’estime assez proche du minimum.

Dans le cas particulier de la météorologie, ce problème est à la fois complexe et
coûteux numériquement. La complexité vient de l’opérateur G, qui peut être
fortement non-linéaire, de sorte que la fonction J(x) peut être non quadratique et
présenter des minima locaux, qui compliquent la recherche du minimum global par
méthode quasi-Newton. Un autre problème majeur est que les dimensions des
vecteurs mis en jeu sont très grandes : les tailles de x et y peuvent être de l’ordre de $10^6$ à $10^9$ . Dans ce cas, il est nécessaire de trouver un compromis entre la qualité du
résultat obtenu et le temps de calcul. En effet, une prévision météo d’excellente
qualité pour le temps qu’il fera demain ne nous sera d’aucun usage s’il nous faut une
semaine pour faire le calcul !

Conclusion

En raison de la complexité des processus impliqués dans les sciences de
l’environnement, les enjeux pour la recherche actuelle et à venir sont nombreux, à la
fois pour la modélisation (amélioration des connaissances, meilleurs outils
numériques) mais aussi pour l’assimilation de données (prise en compte de nouveaux
types de données comme les images issues des données de satellites). Plus
récemment, l’analyse de l’incertitude des modèles systèmes de prévision est aussi
devenue un thème de recherche très important, qui nécessite des connaissances
mathématiques nouvelles (dans le domaine des probabilités et de la statistique). En
effet, même si les prévisions que les modèles outils numériques sont capables de
produire ne peuvent pas être parfaites, il est important de pouvoir fournir des indices
de confiance sur la qualité de la prévision effectuée.
Sur tous ces aspects (modélisation, assimilation de données, analyse d’incertitudes),
la communauté des chercheurs en mathématiques appliquées est très active, à la fois
en France et à l’étranger. Il nous reste encore bien des choses à découvrir avant de
pouvoir, avec certitude, dire quel temps il fera demain matin !

Références

[1] J.-P. Demailly, Analyse numérique et équations différentielles, Presses Universitaires de Grenoble, 3e édition 2006.

[2] D. Euvrard, Résolution numérique des équations aux dérivées partielles de la
physique, de la mécanique et des sciences de l’ingénieur, Masson, 1994.

[3] L. C. Evans, Partial differential equations, American Mathematical Society, 2nd
edition 2010.

[4] P. G. Ciarlet, Introduction à l’analyse numérique matricielle et à l’optimisation,
Dunod, 5e édition 2007.

[5] F. Bonnans, J.-C. Gilbert, C. Lemaréchal, C. Sagastizábal, Optimisation
Numérique : Aspects Théoriques et Pratiques, Springer, 1997.

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