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  APMEP   Olympiades Internationales de Mathématiques

Article du bulletin 436

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François Lo Jacomo

Résumé de l’article

Suite de la correction des problèmes de l’Olympiade Internationale 2001 (cf. Bulletin Vert n° 435).

Enoncé 4 : problème du magicien (était-il facile ?)
Un magicien a cent cartes numérotées de 1 à 100. Il les répartit dans trois boîtes, une rouge, une blanche et une bleue, de telle sorte que chaque boîte contienne au moins une carte. Un spectateur choisit deux de ces trois boîtes, tire une carte dans chacune d’elles et annonce la somme des nombres figurant sur les cartes tirées. Connaissant cette somme, le magicien identifie la boîte dans laquelle aucune carte n’a été tirée. De combien de façons le magicien peut-il répartir les cartes dans les boîtes de telle sorte que ce tour de magie réussisse toujours ? (Deux façons de répartir les cartes sont considérées comme différentes si au moins une carte est placée dans deux boîtes

Enoncé 5 :
Existe-t-il un entier strictement positif n tel que : n soit divisible par exactement 2 000 nombres premiers distincts et $2^{n+1}$ soit divisible par n

Enoncé 6 : triangle inscrit dans le cercle inscrit.
Soient $AH_1$ , $BH_2$, $CH_3$ les hauteurs d’un triangle ABC dont tous les angles sont aigus. Le cercle inscrit dans le triangle ABC est tangent respectivement aux côtés BC, CA, AB en $T_1$, $T_2$, $T_3$. On désigne respectivement par $l_1$, $l_2$, $l_3$ les symétriques des droites $H_2H_3$, $H_3H_1$ , $H_1H_2$ par rapport aux droites $T_2T_3$, $T_3T_1$, $T_1T_2$. Montrer que $l_1$, $l_2$, $l_3$ déterminent un triangle dont les sommets appartiennent au cercle inscrit dans le triangle ABC.







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(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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