Louis Rivoallan [1]

Je vais mourir étouffé par l’orgueil, mais mourir heureux.
J’ai trouvé « un théorème ».
Probablement, d’ici peu, un des lecteurs objectera que le résultat était connu depuis
des lustres, mais quand même, je suis très fier.
Et puis, en attendant que ce lecteur – que je hais par avance – apporte la mauvaise
nouvelle, permettez-moi de vous conter ma trouvaille [2].
D’abord le théorème en question :

Dans un plan, on considère un triangle ABC et un point M quelconque
non situé sur les droites (AB), (BC) ou (CA). Soit A’, B’ et C’ les
orthocentres respectifs des triangles MBC, MCA et MAB.
Alors les triangles ABC et A’B’C’ ont la même aire .

La démonstration ?
Comme je n’ai pas trouvé de démonstration géométrique, je me suis lancé dans de
pénibles calculs de géométrie analytique. On donne des coordonnées aux points A, B,
C et M, puis on calcule les coordonnées de A’, B’ et C’, et enfin on compare les
produits vectoriels \(\overrightarrow{AB}scalaire \overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{A’B’} scalaire\overrightarrow{A’C’}\). C’est long et pas marrant, mais ça
marche. Depuis, j’ai trouvé mieux (cf. annexe 1), mais cela reste très calculatoire.
Là encore, il y a un lecteur, que je hais au moins autant que le précédent, qui va
trouver une jolie démonstration géométrique. Pour peu que ce soit le même ... [3]
(cf. annexe 3).

Une démonstration d’un résultat probablement connu depuis des siècles mérite-t-elle
un article dans ce bulletin vert ? Non bien sûr. En revanche, comment j’ai trouvé cette
propriété qui m’était parfaitement inconnue me paraît intéressant.

C’est grâce à GEOGEBRA et à la rubrique « petits problèmes » que publie Corol’aire,
notre publication régionale du Poitou-Charentes. J’y participe régulièrement, parfois
pour apporter des solutions, parfois pour proposer des énoncés.

À la recherche d’énoncés « nouveaux », j’ai eu l’idée de prendre un triangle ABC
quelconque, un point M quelconque. Ayant tracé les segments [AM], [BM] et [CM],
il a été facile de faire apparaître les centres des cercles circonscrits aux triangles MAB,
MBC et MCA que j’ai appelé C’, A’ et B’.

GEOGEBRA permet d’afficher les aires des polygones.

C’est en déplaçant le point M que je me suis rendu compte du résultat suivant :

(P2) Si le point M était l’orthocentre de ABC, alors le triangle A’B’C’ était l’image
de ABC dans la symétrie centrale dont le centre est le centre du cercle des neuf points
de ABC (et de A’B’C’ aussi d’ailleurs) [4].

Je tenais là un bel énoncé dont la solution est abordable en classe de Première S
(prévoir des questions intermédiaires cependant).
D’autant plus que cette configuration est la source de nouvelles conjectures (cf.
Annexe 4).

Fort de ce premier pas, à partir de la même configuration, ABC et M quelconques, au
lieu de regarder les centres des cercles circonscrits, j’ai fait apparaître les orthocentres,
en gardant les notations.
Et là, quelle ne fut pas ma surprise de constater que les triangles ABC et A’B’C’
avaient toujours la même aire.

Vous connaissez la suite.

Pas tout à fait cependant car, en observant de plus près, on voit que si M est sur le
cercle circonscrit à ABC alors les triangles ABC et A’B’C’ sont isométriques. Là
encore la démonstration est accessible à un élève de Première S (cf. annexe 2).
Les logiciels de géométrie dynamique permettent de multiplier les tracés, de faire
bouger les figures, de faire des calculs aussi. Avec un papier et un crayon, jamais je
n’aurais eu le courage de faire ces figures, et encore moins de faire les calculs d’aire.
Et je n’aurai pas trouvé « mon » théorème. Avouez que cela aurait été regrettable.

Dernière minute : j’apprends que l’équipe de L’OUVERT (journal de la régionale
d’Alsace de l’APMEP) s’est « attaquée » à ce problème et a découvert :

• 1) une démonstration géométrique pure, simple et élégante, avec une première
  généralisation ;
• 2) une démonstration algébrique également simple, se généralisant à toutes les
  dimensions.
  Espérons-en une publication prochaine.