Introduction

En guise d’introduction, nous empruntons quelques lignes à un grand mathématicien
français, André Lichnerowicz (1915 — 1998) :

Au fond, il existe une présence des mathématiques dans la plupart des civilisations anciennes ; chez les Égyptiens ou les Chaldéens, il y a exploration des faits mathématiques, mais le projet mathématique lui-même est grec.

Notre « science » est née dans quelques ports de l’ancienne Grèce, d’hommes qui aimaient se poser des questions et discuter sur les phénomènes célestes comme sur les problèmes de la Cité, sur la manière de convaincre l’autre et souvent soi-même, et ainsi sur les pouvoirs, les prestiges et les pièges du langage, finalement sur l’adéquation de l’esprit au monde.

Parmi ces hommes, certains ne se satisfaisaient point d’histoires, d’apologues ou de jeux verbaux, encore moins de l’autorité donnée à l’autre par la rhétorique. Ils conçurent le projet d’un type de discours sans quiproquo ni malentendu, un discours cohérent et contraignant pour l’autre, capable par sa forme même d’interdire le refus de son contenu.

De tels discours, ils réalisèrent quelques exemples, d’abord locaux, mais fonctionnant à peu près clairement, moyennant quelques doses d’« évidence ». Les mathématiques étaient nées avec la notion de démonstration.

 

Bref aperçu historique sur les sociétés grecques

Dresser dans un premier temps une rapide trame historique des sociétés grecques n’est sans doute pas superflu.

Les premiers établissements humains dans l’est méditerranéen sont apparus dès le néolithique.

Au 16^e siècle avant Jésus-Christ s’est développée en Crête d’abord, une civilisation brillante à plusieurs facettes mais qui, brusquement, s’effaça vers la fin du — 11^e siècle. Les textes de l’Iliade et de l’Odyssée (— 8^e siècle) nous en apportent comme un écho.

Par ailleurs, les habitants dispersés dans les nombreuses îles de la mer Égée et les rares plaines du continent montagneux vont donner naissance à un nouveau type de société : la Cité (polis), communauté plus ou moins importante de citoyens qui gèrent les divers aspects de leur vie. C’est sans doute autour du — 10^e siècle que les cités maritimes empruntèrent leur alphabet aux phéniciens avec lesquels ils commerçaient.

Les historiens distinguent alors, en général, trois périodes dans l’histoire des cités.

Période archaïque

Le gouvernement, d’abord aristocratique, de plusieurs d’entre elles, passe progressivement sous l’influence des marchands. C’est une période d’expansion avec les colonies, surtout d’Athènes et de Sparte, tout autour de la méditerranée (— 9^e, — 6^e siècle).

La seule unité entre les cités sera l’institution religieuse : sanctuaires, oracles, jeux publics. (Délos, Delphes, Olympie).

Période classique

Les guerres contre les Mèdes venus d’Asie Mineure (Marathon — 490, Salamine — 480) auront comme conséquences une prééminence d’Athènes sur d’autres cités (Thèbes, Sparte) et surtout la mise en place dans certaines d’un nouveau système politique : la démocratie, dans lequel les pouvoirs de l’aristocratie sont diminués au profit de l’assemblée des citoyens libres : l’ecclésia.

Mais, à côté de ces hommes libres, citoyens, figure un nombre important d’hommes dépendants (métèques) et d’esclaves sur lesquels les citoyens se déchargent de la plupart des travaux productifs. L’existence de ces deux niveaux de vie va se retrouver dans les modes de calcul.

Pour les besoins de la vie courante, il y a un système à base additive sans autres règles simples qu’orales et justifiées par la seule pratique.

Pour l’aristocratie, c’est un système reposant sur l’écriture et l’alphabet, pour lesquels les règles voulaient se justifier logiquement. Ce système est étudié dans l’article « La numération écrite ».

Cette dualité de systèmes se retrouve chez les Pythagoriciens pour lesquels le savoir devait être source de pouvoir.

La fin de cette période fut marquée par des divisions profondes entre les différentes cités (guerre du Péloponnèse) et la victoire de Philippe, roi de Macédoine, sur les Grecs divisés malgré les exhortations de Démosthène. (Bataille de Chéronée, — 338)

Période hellénistique

Le fils de Philippe, Alexandre associa peu la Grèce à ses rapides conquêtes en Asie. Après sa mort (-323), celle-là fut soumise au royaume de Macédoine qui laissa les cités s’opposer les unes aux autres, jusqu’à ce que Rome les domine successivement au cours du — 2^e siècle.

C’est alors que vont se dessiner d’autres orientations intellectuelles. La pensée grecque se diffusera dans les divers peuples méditerranéens, influençant peu ou prou leur propre culture. Rome elle-même sera conquise par cette civilisation hellénistique dont le centre fut Alexandrie, en Égypte, où régnèrent les Ptolémée jusqu’à la domination romaine (— 31) mais où subsisteront la Bibliothèque et le Musée.

 

Quelques mots sur les géomètres grecs

Le mot géomètre a désigné, jusqu’au 18^e siècle, quiconque s’occupait tant de géométrie que d’arithmétique, de mécanique ou d’astronomie.

Les documents dont nous disposons ne nous ont pas encore laissé découvrir des traces de mathématiques en Grèce antérieures à 600 avant Jésus-Christ, et celles que nous en avons, nous ont été essentiellement rapportées par des auteurs d’époques postérieures.

Au — 6^e siècle, il y a THALÈS de Milet qui semble avoir recueilli, sinon en Orient du moins en Égypte, ce qui avait constitué les bases de cette science :

• un diamètre partage le cercle en deux arcs égaux,
• les angles opposés par le sommet sont égaux,
• les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux,
• un triangle rectangle est inscrit dans un demi-cercle,
• quelques propriétés des rapports entre figures semblables.

Celui-ci semble être le premier à avoir énoncé ces propriétés en les accompagnant de justifications.

Vers — 520 apparaît à Crotone, dans la « Grande Grèce », un ordre religieux ayant à sa tête PYTHAGORE de Samos qui pense que « tout est nombre » mais, comme ajoute son disciple Héraclite, « le savoir encyclopédique n’enseigne pas à avoir raison ». Il faut donc démontrer par un discours logique (logos). Ce sera l’œuvre à laquelle vont s’attaquer les Pythagoriciens aux siècles suivants. Ainsi :

• PHILOLAOS de Crotone avec la décomposition d’un entier en facteurs premiers,
• HIPPOCRATE de Chios avec le raisonnement par l’absurde et à qui nous devons également une premières ébauche d’« Éléments » (vers — 400),
• ZÉNON d’Élée, l’homme des paradoxes critiques du raisonnement.

Ce sont alors des notions insoupçonnées qui surgissent. Il est dit qu’au milieu du — 5^e siècle un membre de la communauté pythagoricienne, Hippase, fut exclu de celle-ci pour avoir révélé le mystère entourant la mesure de la diagonale du carré. Apparaissent donc des problèmes qui vont réclamer d’autres moyens d’étude : mesurer la diagonale du carré, doubler le volume d’un cube, couper un angle en trois parties égales, lier les mesures (périmètre et aire) d’un cercle à son diamètre.

D’autres auteurs vont s’inscrire qui privilégièrent la rigueur mathématique lui réservant l’exclusivité. « Que nul n’entre ici s’il n’est géomètre » déclare PLATON (début — 4^e siècle). Nous leur devons l’approfondissement des notions de rapport, proportion, suite, incommensurabilité (Théétète, l’ami de Platon), sections coniques (MÉNÈCHME). ARCHYTAS de Tarente écrit sur les sons de la musique en lien avec l’arithmétique (vers — 400).

Nous ne sommes encore que partiellement renseignés sur ces époques. La suite nous est mieux connue.

Un peu avant, — 300 semble-t-il, EUCLIDE rassemble à Alexandrie où il vit, les acquis de l’époque. L’ouvrage qui a résulté de ce vaste travail, les « Éléments », a joué un rôle complexe tant dans sa transmission que dans son usage.

À cet âge d’or vont contribuer :

• ARISTARQUE de Samos, astronome, conçoit un système héliocentrique de l’univers connu (début — 3^e siècle),
• ARCHIMÈDE, tué en — 212 lors de la prise de Syracuse par les Romains, joint la mécanique à la géométrie, les faisant progresser par des méthodes nouvelles qui ne seront reprises que bien plus tard.
  On lui doit une approximation de $\pi $ entre $3+\frac{10}{71}$ et $ 3+\frac{10}{70}$,
• APOLLONIUS de Perga (mort en -190) parfait une étude des coniques.
• ÉRATOSTHÈNE son contemporain est mathématicien et géographe, il mesure les
  dimensions de la terre avec précision,
• HIPPARQUE, toujours au — 2^e siècle, que d’aucuns considèrent, avec ses tables numériques, comme le père de la trigonométrie.

Il y en a bien d’autres. Toujours est-il que c’est d’Alexandrie que va maintenant rayonner la science hellénistique.

Plus tard encore, MÉNÉLAOS (vers 100) étudie les triangles sphériques, HÉRON (qu’on date mal) s’occupe de mécanique et prépare PTOLÉMÉE. Ce dernier (vers 150) astronome, géomètre et géographe étudie les polygones et polyèdres réguliers et ce qui deviendra nos fonctions trigonométriques.

Au 3^e siècle on se doit de citer, mais à part, DIOPHANTE car celui-ci semble se tourner davantage vers des traditions de calcul venues d’Orient que vers l’esprit grec. Dans ce qui a été conservé de ses livres d’arithmétique d’aucuns voient un début d’algèbre qui aurait pu inspirer par la suite les savants arabes.

Mais désormais la puissance de Rome jette son ombre sur la science car les techniques dont elle dispose lui suffisent pour assurer sa grandeur.

On citera au 1^er siècle VITRUVE, un architecte. Dans l’esprit grec de recherche ce sont surtout des commentateurs qui vont se distinguer désormais en précisant maints points du capital acquis.

PAPPUS (vers 400) écrit sur l’« Almageste » de PTOLÉMÉE, PROCLUS sur les premiers livres des « Éléments » (vers 450). THÉON d’Alexandrie est à l’origine de la plupart des manuscrits dans lesquels traducteurs arabes et persans ainsi que ceux de la Renaissance en occident puiseront leur connaissance des « Éléments ». Sa fille HYPATHIE, également mathématicienne, fut massacrée par des religieux fanatiques.

On peut penser que s’achève alors l’ère de la science grecque en Orient, mais aussi en Occident. C’est en 423 que sera assassiné, à Ravenne, au nom d’un autre fanatisme, BOÈCE qui, avec CASSIODORE, fut un des rares romains élevés à la grecque qui nous laissèrent quelques travaux mathématiques.

Remarque
Nos connaissances actuelles reposent sur les nombreuses découvertes, au 20^e siècle, de manuscrits relatant les œuvres des auteurs grecs. Mais ceux-ci ne sont que des copies souvent tardives, voire des traductions faites par les mathématiciens arabes. Cela entraîne bien des controverses pour savoir qui a, le premier, étudié telle ou telle question.

 

Et l’arithmétique ?

Il convient d’abord de s’entendre sur le sens du mot. Nous avons déjà signalé chez les Grecs, deux systèmes d’écriture des nombres. L’un correspondait aux usages pratiques, aux opérations usuelles ; sa connaissance relevait de la logistique (Logistikh). L’autre, celui dont usaient les études sur la théorie des nombres relevait de l’arithmétique (Ariqmhtikh).

Revenons à la période hellène.

Après le — 4^e siècle la source pythagoricienne paraît épuisée. Certes il y a les trois livres (7, 8, 9) des Eléments, mais tout repose maintenant sur la géométrie. Même ÉRATHOSTÈNE, l’auteur du « crible », construit vers -200 un outil géométrique pour trouver des moyennes proportionnelles (ce que nous dirions : à partir de deux nombres a et b en trouver deux autres x et y tels que $\frac{a}{x}=\frac{x}{y}=\frac{y}{b}$ ).

Certes on étudiait les nombres pairs, les impairs, quelques nombres parfaits. On savait qu’il y a une infinité de nombres premiers. On calculait la somme des premiers entiers, les nombres triangulaires et autres polygonaux, mais l’absence de symboles et l’écriture alphabétique des nombres était un lourd obstacle pour exprimer les propriétés acquises et envisager une généralité des résultats obtenus.

Il faut attendre le 2^e siècle pour que, du côté d’Alexandrie, peut-être au contact des sciences venues d’Inde, un certain symbolisme perce avec NICOMAQUE, DIOPHANTE, PTOLÉMÉE. Sans doute des imprécisions demeurent dans ce qu’on connaît de leurs œuvres, mais ceux-ci nous ont laissé des démonstrations affranchies de la géométrie. Chez DIOPHANTE perce une certaine algèbre avant l’heure.

Si nous en restons aux héritiers directs de la civilisation grecque, les Romains se contentèrent surtout de logistique pour construire routes et aqueducs. L’arithmétique était recopiée, souvent en grec, un peu commentée, beaucoup se perdait. BOÈCE vers 500 classe les nombres selon leurs divisibilités possibles ISIDORE de Séville, dans sa grande encyclopédie (Etymologiæ, 633) donne quelques pages de définitions…

Dans l’empire d’Orient, à Byzance, la situation apparaît du même ordre avec toutefois l’usage du système de numération additive.

Les copistes copient et recopient « arithmétrice »…

Par contre le savoir scientifique hellène trouva preneurs chez les arabo-persans dès le début de la conquête islamique. En effet, ceux-ci étaient favorisés par leur connaissance tant des calculs pratiques digitaux ou sexagésimaux que par le procédé indien de numération ? Passionnés de sciences positives ils étudièrent, dès le 8^e siècle, les livres d’Euclide et d’autres Grecs (Archimède, Nicomaque, Diophante) à l’instant qu’ils en eurent possession et traduction. C’est pourquoi, de l’Arabie à l’Andalous, sous le vocable d’Al arithmatīqī on verra fleurir maintes œuvres consacrées non seulement aux aspects pratiques (impôts, héritages, commerces) mais à la science des nombres et que va éclore Al-gabr.

 

La numération écrite

Si l’arrivée de la démocratie dans la cité d’Athènes entraîna la création et le développement d’écoles pour beaucoup, l’aristocratie conserva pour les siens une sorte d’éducation complémentaire prenant ensuite une forme supérieure plus intellectuelle. La science a ses exigences.

Dès le deuxième millénaire avant Jésus-Christ, la Mésopotamie a connu un système de numération de position assez proche du nôtre. Si les Grecs, au cours de leurs navigations commerciales recueillirent les connaissances des peuples visités, égyptiens, phéniciens, carthaginois, juifs… pourquoi n’en fut-il pas de même pour le système babylonien de numération ?

Les Pythagoriciens ne surent-ils pas l’assimiler ? Cherchèrent-ils à garder du pouvoir sur les masses grâce au secret ?

L’aristocratique philosophie de la secte considéra que le calcul de dénombrement était indigne du citoyen distingué. Les techniques opératoires furent délaissées au profit de l’étude des propriétés des nombres et de la justification des résultats.

Dans l’éducation au niveau aristocratique le rôle dévolu au calcul était autre que celui de ses moyens. Platon recommandait l’étude des mathématiques par tous les enfants dès le début de la formation, quelque rude que fût cette étude.

« La racine est amère, les fruits sont doux », disait-on en parlant de l’éducation...

 

• Pour aller plus loin
  Pour plus de détails sur la numération écrite, consultez le document ci-joint.

 

Les Éléments d’Euclide : une table des matières

• Quelques questions préalables :
  Euclide a-t-il existé ?
  Est-ce le nom d’une école ?
   
  Toujours est-il que fut rédigé, dans le cadre du « Musée », centre de recherches sur divers domaines de connaissances, à Alexandrie, au 3^e siècle avant J.-C., un ensemble de textes appelés « Éléments ». Ils sont le fruit d’un enseignement fondé sur la déduction et la démonstration.

• Comment nous sont-ils parvenus ?
   
  Uniquement par des copies successives et des traductions, de grec en latin et en arabe puis dans les langues modernes – copies souvent partielles, textuelles ou commentées. L’arrivée de l’imprimerie a accru leur importance. – Première édition : RATDOLT, Venise 1482, en latin.
   
  Actuellement on trouve des Éléments à peu près dans toutes les langues. En français, les premières éditions HENRION, LE MARDELE sont des années 1615-1625. Les deux traductions de PEYRARD (1804 et 1814-18) à partir de nouveaux documents, ont joué un rôle important. Actuellement fait autorité l’ouvrage de VITRAC (P.U.F. 1990-1994).

 

• Pour aller plus loin
  Pour plus de détails sur les Éléments, consultez le document ci-joint.

• À propos de symbolisme
  Les Éléments et les textes de cette époque étaient rédigés sans aucun symbolisme. Consultez le document ci-joint qui reprend la première traduction des Éléments par PEYRARD, 1804, Livre IV.
  À titre de curiosité, à la fin de ce même document, nous avons formulé avec les symboles modernes des propositions du deuxième livre des Éléments d’Euclide.

• Les pérégrinations d’un résultat
  Au livre II des Éléments d’Euclide, on lit, Proposition 12, dans la traduction d’HENRION (1615) :
  « Aux triangles ambligones, le quarré du costé qui soustient l’angle obtus est plus grand que les quarrés des deux autres costés, de la quantité de deux fois le rectangle, compris d’un des costés contenant l’angle obtus, sçavoir celuy sur lequel estant prolongé tombe la perpendiculaire, et de la ligne prise dehors entre la perpendiculaire et l’angle obtus. »
  Un résultat qui sera reformulé au cours des âges, comme le montre le document ci-joint.

 

Les bases du système de numération de l’Attique

Les inscriptions athéniennes révèlent l’existence de ce système dès l’époque de Solon (600 avant Jésus-Christ).

Si cet ensemble de symboles et son principe furent supplantés à 1’époque classique, de nombreuses traces en subsistèrent longtemps. Ce système n’est-il pas également appelé système d’Hérodianus du nom d’un savant qui vécut à Byzance vers 200 après Jésus-Christ et dont la description du système s’est transmise à travers le Moyen-Âge...

 

• Pour aller plus loin
  Pour quelques détails sur ce système de numération, consultez le document ci-joint.

 

Les unités de mesure

Quelques indications sur les unités de mesure sont données par le document ci-joint.

 

Biographies

Quelques mots sur des personnages de ce bref panorama.

 

• ALEXANDRE (— 356 — 323), fils de Philippe de Macédoine, entraîna les Grecs dans une campagne contre les Perses et conquit un vaste territoire jusqu’aux portes de l’Inde. À sa mort, ses généraux se partagèrent Grèce et Moyen-Orient, mais les états qu’ils fondèrent ne cessèrent de décliner sauf en Égypte dont les monarques se firent considérer comme héritiers des pharaons.

• ARCHYTAS de Tarente
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• ARISTOTE est né en — 384 à Stagire. Son père était médecin du roi Philippe de Macédoine.
  Vers -365, il suit l’enseignement de Platon, puis est chargé de l’éducation du futur Alexandre Le Grand (— 343 — 340).
  Vers -335, il fonde à Athènes une école de philosophie dans le parc d’un gymnase consacré à Apollon Lycien : le « Lycée ». Ses écrits constituent une véritable encyclopédie du savoir grec au — 4^e siècle.
  Il meurt, exilé, en — 322.

• DÉMOSTHÈNE est né à Athènes en — 384.
  Ses discours, les « philippiques », étaient destinés à galvaniser la résistance à Philippe. Il rechercha en vain une alliance avec les autres cités mais ne put empêcher la domination de la Macédoine. Il s’empoisonna en — 322.

• EUCLIDE
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• HIPPOCRATE de Chios
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• MÉNÈCHME
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• PHILIPPE (v. 382 336), roi de Macédoine qui, après avoir écrasé à Chéronée une alliance des Athéniens et Thébains se fit proclamer commandant des forces helléniques contre l’empire perse (— 337).

• PHILOLAOS de Crotone
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• PLATON naît dans une famille aristocratique de la cité d’Athènes en -427. Il suit l’enseignement de Socrate.
  Après s’être intéressé aux affaires politiques, il organise et finance à Athènes dans le parc du gymnase Académos une école, l’« Académie », vers — 387. Il semble, d’après son disciple Aristote, qu’il s’agissait plutôt d’une communauté de chercheurs. Platon considère que la « dialectique » procure une vision du monde intelligible. Il fonde l’enseignement de celle-ci sur des démonstrations exclusivement rationnelles en arithmétique, géométrie, astronomie et musique (le quadrivium du Moyen-Âge).
  Il meurt en — 387.
  Au fronton de l’Académie, une inscription :

  Que nul n’entre ici, s’il n’est géomètre

• PTOLÉMÉE, nom porté par les quinze souverains grecs d’Égypte jusqu’au fils de César et Cléopâtre.
  Ne pas confondre avec Claude Ptolémée.

• Claude PTOLÉMÉE, géographe du 2^e siècle, auteur de l’ « Almageste », compilation qui fit autorité en astronomie jusqu’au 17^e siècle.
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• PYTHAGORE serait né vers -580 à Samos, île de la mer Égée.
  Après un séjour en Chaldée et en Égypte, il s’installe à Crotone en Grande Grèce. Il a fondé une sorte d’école de philosophie où il enseigne que « tous les êtres de la nature peuvent être symbolisés par des nombres » et que « le monde entier n’est qu’harmonie et arithmétique ».
  Il serait mort vers — 504.
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• SOCRATE est né à Athènes en — 470.
  Il n’est connu que par les écrits de ses contemporains. Il est présenté comme celui qui enseigne en interrogeant (« maïeutique »). Pendant la guerre du Péloponnèse il fut accusé de miner le moral de la jeunesse.
  En — 399, il fut condamné à mort et but la ciguë.

• THALÈS de Milet
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• ZÉNON d’Élée
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