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Pour un enseignement problématisé des mathématiques au lycée : propositions et extraits des brochures de l’APMEP n°150 et n°154.

Jean-Pierre Richeton

Spécificités de l’enseignement mathématique

— effectuer un calcul en utilisant un algorithme formel, mathématique science formelle ;
— optimiser une démarche, un résultat, mathématique science de l’économie de pensée ;
— représenter une situation par un graphique, un diagramme, mathématique science descriptive ;
— modéliser et formaliser une situation-problème, mathématique science des modèles ;
— différencier le général du particulier, mathématique science discriminante ;
— structurer un ensemble de données, mathématique science structurante ;
— disposer de méthodes sur la base de la logique propositionnelle, mathématique science rationnelle et méthodologique ;
— apprécier beauté, élégance (figure, méthode, preuve), mathématique science esthétique.

En résumé :

L’enseignement des mathématiques contribue à munir les élèves de modes de pensée et d’outils universels et transférables.

Avant propos…

Que propose ici le groupe “Problématiques Lycée” ?

… le fruit d’un travail commencé il y a une dizaine d’années, faisant suite à une réflexion relative aux programmes du 1er cycle et à leur enseignement, menée de façon analogue, dans le même cadre de l’A.P.M.E.P., au cours des années 80. Cette réflexion était restée cependant d’ambition plus modeste quant à la production de textes.

Le travail effectué dans ce groupe Lycée s’est renforcé des réflexions, travaux et expérimentations en œuvre dans le groupe “Prospective Bac” qui vise lui-même un renouvellement du contenu et des modalités de l’examen. En effet, on ne peut isoler enseignement et évaluation, tant l’influence de celle-ci sur le travail des élèves, sur les méthodes pédagogiques et sur les choix didactiques est fondamentale.

Il apparaît ainsi clairement, mais de façon regrettable, qu’en réalité l’état actuel des connaissances acquises par la majorité des élèves à la fin du 2ème cycle se réduit le plus souvent à ce qui leur est justement conseillé dans la préparation du bac et renforcé, pour l’essentiel, par les problèmes qui y sont donnés. La stratégie la plus payante pour l’élève, de façon à peine caricaturale, se ramène à : « par sécurité, algorithmisons nos connaissances, pour nous assurer la “moyenne”, ne vous écartons pas du chemin qui nous conduit pas à pas à la solution, segmentons notre savoir comme le sont les questions du problème, ne perdons pas de temps à comprendre ses relations avec les autres disciplines, à changer de cadre lorsque ce n’est pas demandé, etc. »

Il est hors de question de condamner en cela les enseignants qui, pour des raisons déontologiques, doivent assurer, à travers la réussite maximale aux examens, un contrat social vis-à-vis de l’institution, des élèves et de leurs parents.

Notre proposition au sujet de la méthode de conception et de lecture d’un programme, sans être révolutionnaire, veut se construire, de façon originale, à partir de grandes classes de problèmes, de “problématiques”, qui inscrivent objectifs, compétences et contenus plus en système qu’en une suite éclatée de chapitres de cours. Selon un principe constructiviste, les contenus doivent apparaître comme une issue et un moyen incontournables pour résoudre des problèmes significatifs et non comme une fin en soi. C’est un renversement épistémologique par rapport à ce qu’un programme classique propose où le concept est d’abord introduit et où les problèmes d’application et de réinvestissement apparaissent ensuite.

Certes les libellés actuels de programme décrivent, en amont des contenus, des intentions générales, des lignes directrices, des objectifs, des capacités attendues.

Mais notre ambition est de construire, autour des problématiques majeures de tout l’enseignement des mathématiques du secondaire, un système cohérent qui, en faisant plus de place à la formation scientifique qu’à la culture mathématique sans la reléguer, coordonne trois composantes indissociables :

— des situations où l’activité de l’élève trouve sa place, situations suffisamment significatives pour que l’élève s’approprie le problème posé, pour qu’il y engage un coût cognitif ni trop élevé, ni dérisoire,
— des démarches, des attitudes scientifiques attendues de lui, satisfaisant les objectifs généraux et spécifiques des mathématiques,
— des savoirs visés à organiser en fonction de l’approfondissement défini par le niveau de la classe, par le rythme adopté par certains élèves, etc. Par suite, un même contenu pourra être enseigné ou "visité" plusieurs fois, mais à des niveaux ou dans des cadres différents.

Ainsi, un programme à notre sens devrait comporter dans son écriture, à chaque niveau scolaire, des préalables qui, à la suite des objectifs visés et des compétences attendues, distingueraient selon les dix problématiques que nous avons identifiées, les trois composantes énoncées ci-dessus. On pourra remarquer, qu’à des détails de rédaction près, ce sont sensiblement les mêmes que celles que nous avions dégagées pour l’enseignement dans le Collège. Cette similitude devrait nous conforter dans le sentiment que les mathématiques enseignées ou à enseigner forment un tout, cimenté par les problèmes qu’elles permettent de résoudre en complexifiant peu à peu et au besoin leurs outils de résolution.

Voici les titres de ces problématiques pour le Lycée : En référence privilégiée à des contenus :
Repérage.
Représentations figurales et/ou graphiques.
Propriétés des modèles associés.
Dynamique des points, des figures et des nombres.
Mesure de grandeurs avec précision, approximation ou incertitude.
Traitement et représentation de données statistiques.

En référence privilégiée à des objectifs méthodologiques :
Techniques algorithmiques.
Changement de registres et de cadres.
Recueil, traitement, consultation et communication de l’information.
Construction ou choix opportun et optimal des modèles, des outils et des méthodes dans des situations sous contraintes pluridisciplinaires.
Conjectures, preuves, réfutations et validations.

La lecture critique, et éventuellement comme nous le souhaitons, la mise en œuvre dans la classe de nos suggestions ni fermées, ni exhaustives, doit conduire à un enrichissement continu des textes qui vont suivre.

En guise d’introduction…

Pour chaque problématique, nous indiquons, a priori, le niveau où certains exercices proposés nous semblent pouvoir être abordés. Cependant, cette indication n’est donnée qu’à titre indicatif car elle dépend bien entendu des contenus des programmes, du niveau des classes et des choix jugés opportuns par l’enseignant eu égard à ses objectifs. D’autres exercices sont sans indication de niveau car considérés d’un abord plus difficile et/ou hors des contenus présents et donc hors du champ des compétences actuelles de la plupart de nos lycéens, même en TS. Outre le fait qu’ils ont pour nous valeur d’exemples pour la problématique concernée, la présence et le choix de ces exercices trouvent également leur légitimité à nos yeux par le fait qu’ils représentent le type même d’exercices que nous pensons utile de voir aborder à plus ou moins long terme dans nos classes.

Ceci à condition, il va de soi, d’intégrer la pratique “d’exercices avec prise d’initiative” dans notre enseignement et donc dans nos évaluations (cf. le rapport de la commission baccalauréat de mathématiques présidée par M. Paul Attali, IG de mathématiques remis à la DESCO en juillet 2000.

Certains exercices sont étiquetés “option Sciences” car ils ont été expérimentés dans cette option ou sont tout désignés à l’être selon nous)… (cf. le site de l’APMEP ou le site du lycée Jean Monnet de Strasbourg)

Certes ces exercices devraient avoir leur place à part entière dans notre enseignement mais faute de temps et vu la très grande hétérogénéité des classes actuelles, ils risquent de disparaître de fait des activités des élèves. D’où la revendication récurrente de l’A.P.M.E.P. d’obtenir la création d’une option Sciences et de retrouver des horaires décents en mathématiques respectant le temps d’apprentissage des élèves eu égard aux objectifs affichés par l’institution et le rôle reconnu et universel des mathématiques dans le monde actuel.

Certains des exercices proposés tout au long de notre brochure sont “classiques” mais ils ont été retenus pour des raisons d’adéquation à la logique des “ problématiques ”. D’autres sont plus originaux et élaborés en fonction du rôle que nous voulions leur faire remplir. Des pistes de solutions, voire des solutions, ainsi que des remarques didactiques les accompagnent le plus souvent. Une ou deux situations dites “ didactiques développées ” clôturent la suite d’exercices liés à la problématique, afin de rendre compte, plus amplement, de celle-ci à travers une véritable activité de classe.

Les auteurs de programmes pourront toujours nous objecter que leurs commentaires plaident pourtant clairement en faveur d’un tel enseignement à l’image de ceux du programme de Seconde entrés en application en septembre 2000 : « Prendre du temps pour s’adonner à une vraie recherche de problèmes - en respectant toutes les étapes relatives à ce type de recherche (conjectures et expérimentations, recherche de preuves, mise en forme d’une démonstration...) »… Mais comme pour les programmes précédents, où figuraient notamment les huit moments de l’activité mathématique (« formuler un problème, conjecturer un résultat, expérimenter sur des exemples, bâtir une démonstration, mettre en œuvre des outils théoriques, mettre en forme une solution, contrôler les résultats obtenus, évaluer leur pertinence au regard du problème posé »), ces directives risquent fort, le plus souvent, de rester à l’état de vœux pieux… En effet, la réduction drastique des horaires de mathématiques entamée depuis le collège ces dernières années, et, par voie de conséquence, le manque chronique de temps dont nous disposons ne permettent pas à l’élève de réinvestir ses connaissances… sans compter que les sujets actuels du baccalauréat n’incitent guère à ce type de travail basé sur la recherche de problèmes !

Nous ne pouvons que le déplorer tout en espérant que cette brochure apportera une aide aux collègues et saura convaincre l’institution à s’engager enfin dans une voie dont l’objectif ne serait pas tant les contenus à peine survolés que la capacité à mettre en œuvre une démarche scientifique.

"Extraits des brochures n°150 et n°154"

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