Agrégation des sciences mathématiques des jeunes filles 1926

Arithmétique, Algèbre et Géométrie (4 heures)

 

On considère quatre points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) d’une circonférence de centre \(O\).

 

1. Comparer au quadrilatère \(ABCD\) le quadrilatère dont les sommets sont les points de rencontre des hauteurs des triangles \(BCD\), \(CDA\), \(DAB\) et \(ABC\).

 

2. Démontrer que les projections orthogonales du point \(A\) sur les côtés du triangles \(BCD\) sont sur une droite \((a)\) ; et que cette droite \((a)\) est parallèle à la droite joignant \(B\) au second point où la perpendiculaire menée de \(A\) à \(CD\) coupe la circonférence \(O\).

 

Démontrer en outre que la droite \((a)\) et les droites analogues \((b)\), \((c)\) et \((d)\) passant par les projections de \(B\), \(C\) et \(D\) sur les côtés des triangles \(CDA\), \(DAB\) et \(ABC\) sont concourantes.

 

Comparer le faisceau \((a)\), \((b)\), \((c)\) et \((d)\) au faiseau \(OA\), \(OB\), \(OC\) et \(OD\).

 

3. Étudier la figure formée par les centres des seize circonférences tangentes aux côtés de chacun des triangles \(BCD\), \(CDA\), \(DAB\), \(ABC\).

Solution du précédent exercice d’antan n°5

Nous publions la solution de Raymond Raynaud de Digne.