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  APMEP   Problèmes du BV 506

Article du bulletin 506

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et solutions des 501-1, 501-3

Hochart Max

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 506–1 (Jean-Louis Trinquand (Clermont-Ferrand))

Soit f : $\mathbb N \rightarrow \mathbb N$ telle que f (1) > 0 et pour tous $m, n \in \mathbb N,$

$$f(m^2+n^2)=f(m)^2+f(n)^2$$

Trouver f .

Problème 506–2 (Michel Lafond (Dijon))

Montrer que l’on définit une bijection de $\mathbb N^3$ dans $\mathbb N$ en posant

$$f(a,b,c)=\frac{1}{6} \left[ (a+b+c)^3+3(a+b+c)^2+3(b+c)^2+2a+5b+11c) \right] $$

Problème 506–3 (George Gras (Le Bourg d’Oisans))

Soit p un nombre premier tel que $p \equiv -1$ mod 8. On considère une solution $(x, y) \in \mathbb Z^2$ de l’équation de Pell Fermat :

$$ x^2-py^2=1$$

Montrer que 8 divise x ou y. Dans le second cas (où 8 divise y), montrer que (x, y) est donné par une relation de la forme

$$x+y \sqrt p= \pm (u+v \sqrt p)^2$$

avec $u, v \in \mathbb Z$.

Problème 506–4 (Fernand Canonico (Clermont-Ferrand))

Calculer la somme suivante :

$$\sum_\limits{n=0}^{+\infty} \frac{n!}{1 \times 3 \times 5 \times .... \times (2n+1)}$$

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 501–1 (Franck Gautier, Pérignat lès Sarliève)

Montrer que le produit de huit entiers consécutifs non nuls ne peut être un carré parfait.

Réponses de Pierre Bernat (St Benoît), Hélène Brion (Clamart), Bernard Collignon (Coursan), Franck Gautier (Pérignat les Sarliève), Gilbert Gribonval, Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques) et Vincent Thill (Migennes)

Problème 501–3

Soit p un nombre premier. Pour $n \in \mathbb{N}^*$ , on note $a_n$ le nombre d’éléments d’ordre p du groupe symétrique $S_n$. Calculer la série entière

$$\sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{a_n}{n!} x^n.$$

Réponse de Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques) et Lazard George Vidiani (Fontaine Les Dijon)

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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