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  APMEP   Problèmes n° 301 et n° 302

Article du bulletin 451

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et solutions des problèmes n° 293 et n° 294

Indications sur des énoncés déjà publiés

Problème n° 297 publié dans le BV 449 (janvier 2004) (relations liant les affixes des centres et les rayons de quatre cercles deux à deux tangents) :
Que devient la figure par inversion ? Que deviennent les formules par changement de repère ?

Problème n° 298 publié dans le BV 449 (janvier 2004) (n points d’un plan tels que parmi cinq quelconques, quatre soient cocycliques) :
Suffit-il de prouver le résultat pour $n = 7$ ? Que peut-on dire pour $n = 6$ ? Peut-on se passer de l’inversion ? Les points jouent-ils un rôle symétrique ?

Problème n° 299 publié dans le BV 450 (février 2004) (n points sur une sphère, intersection de plans perpendiculaires aux cordes...) :
Que devient le résultat lorsque $n = 3$ ? Le problème serait-il différent sur un cercle ?

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème n° 301 (Michel BATAILLE, 76-Rouen)
Soient $\alpha$ , $\beta$ et $\gamma$ les angles d’un triangle.Quelles sont les fonctions continues $ f : ]0,\pi[ \rightarrow ]0, + \infty[ $ vérifiant pour tout triangle :

$$ f(\alpha) . f(\beta) . f(\gamma) = f(\alpha) + f(\beta) + f(\gamma) ? $$

voir le BV où est publiée une solution

Problème n° 302 (Ivan RIOU, 17-La Rochelle)
On dispose de 101 pièces d’or, toutes de masses strictement positives (non nécessairement rationnelles entre elles). On suppose que : à chaque fois que l’on enlève une pièce au tas, on peut diviser le tas obtenu en deux sous-tas de 50 pièces tels qu’ils aient la même masse.
Prouver que toutes les pièces ont la même masse.

voir le BV où est publiée une solution

Solutions des problèmes antérieurs

Problème n°293 (Pierre BORNSZTEIN, 95 - Pontoise)
Initialement, $n$ oiseaux se trouvent chacun à un sommet d’un polygone régulier à $n$ côtés. Lorsqu’ils sont apeurés, ces oiseaux s’envolent. Puis, après quelque temps, ils reviennent se poser un sur chaque sommet du polygone, mais pas nécessairement sur leurs positions initiales. Trouver tous les $n > 0$ pour lesquels il existe nécessairement trois oiseaux qui, avant et après l’envol, forment deux triangles tous deux acutangles, tous deux rectangles ou tous deux obtusangles.

Une solution

Remarque
Les solutions de Marie-Laure CHAILLOUT (95 - Sarcelles), Ivan RIOU (17 - La Rochelle) et l’auteur sont très proches et distinguent les cas : $n$ pair et $n$ impair.

Problème n°294 (Pierre SAMUEL, 92 - Bourg la Reine)
Étant donné un entier $p$ non nul, peut-on déterminer tous les couples d’entiers positifs $(x, y)$ tels que $xy + p$ divise $x^2+y^2 $ ? Que peut-on dire du quotient $\dfrac{x^2+y^2}{xy+p} $ ?

Une solution

Remarque
Cet énoncé généralise un problème célèbre d’Olympiade Internationale de Mathématiques (énoncé 6 de l’Olympiade 1988 à Canberra, Australie, un des plus difficiles de l’époque…) : « Soient $a$ et $b$ deux entiers strictement positifs, tels que $ab +1$ divise $a^2 + b^2$. Montrer que : $\dfrac{a^2 + b^2}{1+ ab }$ est un carré parfait. »

(Article mis en ligne par Catherine Ranson)
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