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  APMEP   Problèmes n° 307, 308, 309

Article du bulletin 455

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et solution du n° 299 et du n° 300

François LO JACOMO

Indications sur des énoncés déjà publiés

Énoncé n°305 (pavage par des sphinx ou des parallélogrammes) :
a) seuls sont pavables par des sphinx les triangles de côté multiple de 12.
b) dans un hexagone de côté 3, on peut mettre au plus 12 parallélogrammes.

Énoncé n°306 (une caractérisation des droites de Simson) :
Quelle méthode recommander ? que les droites de Simson relatives à ABC sont les asymptotes des hyperboles équilatères passant par A, B et C ?

Énoncés des nouveaux problèmes

Énoncé n°307 (François DUC, 84-Orange)
On veut pouvoir peser avec une balance Roberval n’importe quel objet de masse entière, inférieure ou égale à M grammes, en disposant uniquement de n poids dont la somme des masses ne dépasse pas M. Exprimer en fonction de M la plus petite valeur possible de n, et indiquer les masses des poids correspondants.
voir le BV où est publiée la solution

Énoncé n°308 (François LO JACOMO, 75-Paris)
Soient $(D_1)$ et $(D_2)$ deux droites de l’espace. À quelle condition, si l’on compose une rotation d’un tiers de tour autour de $(D_1)$ avec une rotation d’un tiers de tour autour de $(D_2)$ , obtient-on une rotation d’un tiers de tour ?

À quelle condition, si l’on compose une rotation d’un quart de tour autour de $(D_1)$ avec une rotation d’un quart de tour autour de $(D_2)$, obtient-on une rotation d’un quart de tour ?
voir le BV où est publiée la solution

Énoncé n°309 (Frédéric de LIGT, 17-Montguyon)
Un triangle partage son cercle circonscrit en trois arcs. À partir de chaque arc, on construit le symétrique du milieu de l’arc par rapport à la corde qui le sous-tend. Montrer que l’orthocentre du triangle obtenu coïncide avec le centre du cercle inscrit dans le triangle initial.
voir le BV où est publiée la solution

Solutions des problèmes antérieurs

Énoncé n°299 (Abderrahim OUARDINI, 33-Talence)
Étant donnés n points sur une sphère (S) de rayon R, n ≥ 3, on en choisit deux, et l’on construit le plan perpendiculaire à leur segment et passant par l’isobarycentre des (n − 2) restants. Montrer que tous les plans ainsi construits ont un point commun, et que la puissance de ce point par rapport à (S) vaut :

$$\frac{4(n-1)R^2 - K}{(n-2)^2}$$

où K est la somme des carrés des distances mutuelles des n points.
Solution et remarques

Énoncé n°300 (Moubinool OMARJEE, 75-Paris)
Soit $a_n$, pour $n \ge 1$, une suite d’entiers naturels tels que :

$$\sum _{d|n}a_d= 2^n.$$


Montrer que pour tout $n$, $n$ divise $a_n$.
Solution et remarques

(Article mis en ligne par Catherine Ranson)
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