Jacques Verdier [1]

Activité déjà publiée dans Le Petit Vert, bulletin de la régionale Lorraine, n° 95 de
septembre 2008. Téléchargeable sur le site :
http://apmeplorraine.free.fr/index.php?module=ressources

Je vous paierai, lui dit-elle,
Avant l’août, foi d’animal,
Intérêt et principal.
(La Cigale et la Fourmi, Jean de La Fontaine)

L’activité proposée ici a pour but d’aider le professeur à faire comprendre aux élèves
quelles sont les relations entre les diverses variables qui interviennent
(amortissement, part du capital remboursé, nombre de mensualités, intérêt, coût du
crédit, etc.) et comment on peut les calculer à l’aide d’un tableur. Elle reprend, mais
en la complétant, une fiche de T.D. qui avait été publiée dans Le Petit Vert n° 46 de
juin 1996. [2]

La première partie a sa place au collège (quatrième ou troisième) ; la fin
s’adresse plutôt aux classes de première.

J’ai essayé le plus possible de me mettre dans la peau du citoyen consommateur (et
non dans celle du créancier, banque ou organisme de crédit) : c’est la raison pour
laquelle je parle d’emprunt plutôt que de prêt.

Emprunt à amortissements constants

Imaginons la situation suivante :
Kevin emprunte à Laura cinq jeux vidéo qu’elle a eus à Noël. Ils conviennent du
contrat suivant : pour chaque jeu emprunté pendant un mois, Kevin devra payer à
Laura deux canettes de K-cola [3] Cette redevance est proportionnelle à la fois à la
durée de l’emprunt et à la quantité de jeux empruntés [4] Kevin emprunte les 5 jeux
le 1er janvier, et propose à Laura de lui rendre un jeu à la fin de chaque mois, ce qu’elle
accepte.
Essayons de présenter dans un petit tableau ce qui va se passer :

Cet exemple très concret a pour but de bien faire comprendre aux élèves les diverses
variables en jeu [5]

Quelques notions (et du vocabulaire) à mettre en place :
Ce que possédait Laura et qu’elle a prêté à Kevin s’appelle le capital [6], ici composé
de 5 jeux. La quatrième colonne du tableau correspond à la part du capital qui est
rendue ; on l’appelle l’amortissement. La seconde colonne correspond à la quantité
de capital restant due. La troisième colonne, calculée suivant le contrat passé entre
Kevin et Laura correspond à ce qu’on appelle les intérêts (c’est le « loyer », qui sert
à dédommager Laura de la perte d’utilisation de ses jeux vidéo pendant une certaine
période). Le total de ce que Kévin rend chaque mois s’appelle la mensualité.

Le total de la quatrième colonne correspond au capital emprunté au départ : cela est
primordial (quand on a « fini » de rembourser, on a rendu exactement ce qu’on avait
emprunté.

Le total de la troisième colonne (total des intérêts) est ce qu’on appelle le coût du
crédit  : c’est ce qu’aura coûté à Kevin le droit de disposer de jeux qui ne lui
appartiennent pas.

Bien évidemment, la seconde colonne (capital restant dû) est décroissante, et par
conséquent la troisième colonne (les intérêts) l’est aussi (puisqu’il y a
proportionnalité entre ces deux colonnes).

Le total de la seconde colonne n’aurait évidemment aucune signification.

Enfin, le dernier amortissement est nécessairement égal au dernier « capital restant
dû » : c’est ce qui marque le fait que l’on termine le remboursement du capital
emprunté.

Nous allons maintenant « monétiser » la situation précédente : un jeu vidéo coûte
80 €, et une cannette de K-cola coûte 0,50 €. Voici ce que devient ce tableau :

On va définir alors une nouvelle notion, le taux d’intérêt mensuel : c’est le
rapport calculé dans le contrat précédent : 2 K-cola pour 1 jeu, soit 1 € d’intérêt pour 80 € de capital emprunté pendant un mois. Le taux est de 1/80. Usuellement, on écrit
ce taux sous forme de pourcentage : ici, c’est 1,25 % [7]. La seule chose qui compte
pour les calculs, c’est ce taux mensuel (on verra plus loin le lien entre le taux
mensuel et le taux annuel).

À partir de là, il est normal d’utiliser un tableur pour construire ces tableaux, appelés
tableaux d’amortissements (ou plans de remboursement, ou échéanciers).

Il y a trois données : le capital emprunté, le taux d’intérêt mensuel, le nombre de
mensualités. Les formules du tableur devront « traduire » les notions qui ont été
évoquées ci-dessus.

Voici ce qu’on voudrait obtenir :

Bien entendu, tous les résultats de ce tableau sont calculés en fonction des données
(qui sont dans les cellules E1, E2, E3). « Les compétences tableur » mises en jeu
sont : la recopie vers le bas (compétence fondamentale), l’adressage relatif ou absolu
des cellules, et la sommation automatique.

On peut « agrémenter » en utilisant le format monétaire pour les euros (ça et le
coloriage, les élèves comprennent vite !).

Voici un exemple des formules que j’ai utilisées. C’est bien entendu à l’élève de
construire sa feuille de calcul, et pas au professeur de donner comme consigne
« mettez telle formule dans telle cellule » :

Il reste ensuite à faire varier le montant du capital, le taux d’intérêt et le nombre de
mensualités et de regarder ce que cela donne.

Un exemple d’exercice :
Manon voudrait un scooter ; elle a trouvé une excellente occasion à 540 €, à prendre
immédiatement, mais elle n’a pas d’argent. Elle va voir sa grand-mère pour lui
emprunter 540 €. Elle la remboursera en 12 mois (elle fera du baby-sitting pour
trouver l’argent). Mais sa grand-mère, pour la responsabiliser, lui prêtera au taux
mensuel de 0,75 %. Calculer le montant des 12 remboursements mensuels de Marion.

Ou encore :

Le père de Florian va acheter une nouvelle voiture : 13 450 €. Il emprunte pour cela
sur 4 ans. L’organisme de crédit lui prête l’argent au taux de 1,5 % par mois. Quel sera
le coût total du crédit ? [8]
La copie d’écran suivante donne le début et la fin du tableau :

On peut constater que le coût total du crédit est important (près de 37 % du prix de la
voiture, et cela n’est pas seulement dû au taux élevé, mais aussi à la longue durée) ;
qu’au premier mois, les intérêts sont presque égaux à la part de capital restant due,
alors qu’à la fin les intérêts sont négligeables (les premières mensualités sont
beaucoup plus élevées que les dernières). C’est pour pallier cet inconvénient que nous
allons aborder les emprunts à remboursements mensuels constants.

On pourra également remarquer que, les amortissements étant constants, les trois
colonnes capital restant dû, intérêts et remboursements (mensualités) constituent des
suites arithmétiques [9], ce qui permettrait de calculer directement le coût du crédit [10]

Emprunt à remboursements constants

On voudrait maintenant que les remboursements soient constants. Comme les
intérêts vont décroissant, les amortissements devront être croissants, et non plus
constants. Le problème est : comment calculer ces amortissements ? C’est-à-dire :
quelles formules mettre dans la colonne D du tableur ci-dessous ?

Il est inutile d’essayer par tâtonnement, la tâche est quasi impossible.
Nous allons donc guider les élèves, en leur proposant un (ou plusieurs) tableaux
totalement remplis, sur papier ou sur tableur [11] et en leur demandant d’étudier la
colonne des amortissements. Suivant le niveau des élèves concernés (collège ou
première), on pourra se contenter de leur faire trouver que les amortissements
augmentent de t (t étant le taux d’intérêt mensuel), c’est-à-dire qu’ils sont multipliés
par (1 + t), ou bien de démontrer qu’on a bien une suite géométrique [12].

Mais même en troisième, on peut aborder cette démonstration, en travaillant sur les
deux premières lignes du tableau :

On va faire écrire les relations connues « par construction » entre les diverses
variables.
\(C_1\) est donné. \(I_1 = C_1 × t \) ; \( R_1 = I_1 + A_1 \) ; \(C_2 = C_1 - A_1 \) ; \(I_2= C_2 × t \) ; \(R_2 = I_2 + A_2\).
En exprimant \(R_1\) et \( R_2 \) et en posant l’égalité que l’on veut obtenir (\(R_1 = R_2\)), les
élèves pourront démontrer que \(A_2 = (1 + t) × A_1\).

Si l’exercice s’avère un peu compliqué, on pourra prendre un exemple numérique de
taux (par exemple 1 %, et vérifier que \(A_2 = 1,01 × A_1 \) : l’amortissement a augmenté
de 1 %).

On admettra, au collège, que l’on obtiendrait la même chose avec la seconde et la
troisième ligne, la troisième et la quatrième, etc.

En première, au contraire, on préférera un raisonnement « général », portant sur deux
lignes quelconques :

À partir de là, il suffit de savoir calculer \(A_1\) pour que tout le reste de la colonne des
amortissements soit calculable. Et là, les élèves de collège sont bloqués… Si on veut
qu’ils continuent, on peut leur donner la formule :
\(A_1= C *\frac{t}{(1+t)^{n}-1}\)
(C étant le capital emprunté, n le nombre de mensualités et t le taux d’intérêt
mensuel)

Pour les élèves de première, retrouver cette formule est un bon réinvestissement du
cours sur les suites géométriques, et du calcul de la somme de n termes d’une telle
suite.

Exemple d’exercice d’application : on reprend celui de la voiture du père de Florian,
mais cette fois avec des mensualités constantes :
Le père de Florian va acheter une nouvelle voiture : 13 450 €. Il emprunte pour cela
sur 4 ans. L’organisme de crédit lui prête l’argent au taux de 0,75 % par mois [13] Quel
sera le coût total du crédit ?
Et pour que vous ne soyez pas frustrés, on vous donne la réponse :

Vous constaterez qu’il y a des problèmes d’arrondis, très visibles dans la colonne des
remboursements ; le calcul du remboursement donne environ 334,7038 € par mois :
sur 48 mois, 18 centimes se sont ainsi envolés ! [14]

À noter qu’il existe une formule permettant de calculer le coût total du crédit (total
des intérêts) :\( I = nR − C\) , dans laquelle \( R= \frac{Ct}{(1-(1+t)^{-n})}\) .

En série STG, un travail interdisciplinaire avec le professeur de « comptabilité et
finance des entreprises » serait certainement très profitable [15].

Taux mensuel et taux annuel

Tous les calculs précédents sont effectués à partir du taux mensuel.
Or généralement,
c’est le taux annuel de crédit qui est annoncé au consommateur. Un raisonnement
simple permet de penser que le taux annuel est égal à 12 fois le taux mensuel :
\(t_A = 12 × t_M\) (autrement dit, \(t-_M = t_A/12\)). Mais, en y réfléchissant bien, une valeur qui
augmente 12 fois de suite de 1 % (par exemple) n’augmente pas de 12 %, mais de
12,6825 % environ ; le calcul est le suivant : \((1 + t_M)^{12} = 1 + t_A,\) autrement dit
\(t_M = (1 + t_A)^{1/12}- 1\).

Curieusement, les deux existent dans les calculs, et correspondent respectivement au
taux proportionnel équivalent (TEG), et au taux actuariel équivalent (TAEG) ; le G
signifiant « global » sera expliqué ci-après. Le consommateur qui connaît le TEG ou
le TAEG (annuel), peut donc retrouver le taux mensuel qui lui permettra de construire
son tableau d’amortissement à l’aide d’un tableur, à condition de savoir s’il s’agit du
TEG ou du TAEG. Mais depuis 2002, suite à une directive européenne, dans la
presque totalité des cas c’est le TAEG qui doit être porté à la connaissance du client.
Et, pour compliquer les choses, le TEG proportionnel ayant quasiment disparu, le
TAEG est souvent appelé simplement TEG !!!

Coût du crédit

Il est facile de démontrer que le coût du crédit (comme l’ensemble d’un tableau
d’amortissement) est proportionnel au capital initialement emprunté [16]. On peut donc
fixer ce capital une fois pour toutes [17] et ne faire varier que le taux d’intérêt et la
durée du prêt. Pour ce qui suit, le coût du crédit sera exprimé en pourcentage du capital
emprunté, ce qui est plus « parlant ».

Voici quatre exemples, les deux premiers correspondant à la variation du coût total du
crédit en fonction de la durée, aux taux annuels de 4 % et de 10 % ; le troisième à la
variation de ce coût en fonction du taux annuel, pour une durée de crédit de 20 ans ;
le quatrième pour un taux annuel de 18 % mais pour une durée variant de 1 mois à 2
ans 1/2.

On ne le voit pas bien sur les graphiques, mais les courbes ont leur concavité tournée
vers le haut.

Comme on peut le constater, pour des emprunts de longue durée, le coût du crédit est
très important (pour un emprunt à 5 % annuels sur 25 ans, le coût du crédit représente
plus de 73 % du capital emprunté) [18].

Le quatrième graphique ci-dessus correspond à l’ordre de grandeur des taux qui sont
proposés pour de « petits » achats à crédit sur de courtes durées [19].

Pour ceux qui voudraient refaire des graphiques similaires, voici la première ligne de
la feuille de calcul que j’ai utilisée (les cellules en blanc correspondent aux données) :

Pour compliquer un peu plus…

Revenons au « G » de global, présenté dans le paragraphe « taux mensuel et taux
annuel ». Comme vous le savez, quand on emprunte, on doit souscrire une assurance
obligatoire, et il y a des frais de dossier, ou frais de gestion. L’assurance doit couvrir
le prêteur, et est proportionnelle au capital restant dû (ce qui est logique). Les frais de
dossier, eux, peuvent être payés en une seule fois au premier jour du prêt, ou répartis
sur l’ensemble des mensualités. Tout cela est assez compliqué, mais très bien
expliqué dans un article de Hombeline LANGUEREAU paru dans le Bulletin de
l’APMEP [20].).

On trouve sur Internet des exemples de méthodes de calcul des tableaux
d’amortissement [21].

Si, pour un achat quelconque, on vous propose un crédit dont vous ne connaissez que
la durée et le montant des mensualités, comment retrouver le TAEG ?
Là encore, pas
de formule simple. Mais on trouve aussi sur Internet des logiciels qui vous feront ce
calcul en un clic de souris [22].
Quand vous empruntez, vous décidez généralement de la date de paiement de vos
échéances (par exemple le 5 de chaque mois) ; mais le crédit n’a aucune raison d’avoir
été débloqué à cette date. Si votre banque débloque votre crédit le 22 mars, et que votre
première échéance est le 5 avril, il faut calculer le montant de l’amortissement
correspondant à cette période. Ce qui là non plus n’est pas simple. Mais les
organismes de crédit ont de très bons logiciels…

Venons en enfin au prêts à taux variable, bien connus du grand public depuis que l’on
parle de la crise des subprimes [23] aux USA (et ailleurs !).

Imaginez que l’on emprunte
sur 25 ans (300 mois) pour l’achat d’une maison à 150 000 €. Au départ, votre TAEG
est de 5 %. Mais, au bout de deux ans, le banquier l’augmente et il passe à 6 % [24].
.
Quelle sera la conséquence pour vous ? Comment faire les calculs ?
Il suffit de créer un premier tableau d’amortissement pour votre prêt initial, et de n’en
conserver que les 24 premières lignes. Vous construirez ensuite un second tableau
pour les 23 années suivantes (276 mois) ; le capital initial de ce second tableau sera
le capital restant dû après paiement de la 24° mensualité.

Voici ce que cela donne (copies d’écran du début de l’échéancier, du « passage » au
nouveau taux, et de la fin de l’échéancier) :

Le coût total du crédit est alors de 132 070 € alors qu’il aurait été de 110 162,18 €
sans ce changement de taux.

J’espère que ces quelques lignes vous inciteront à mettre en place des activités sur ce
thème avec vos élèves.