Une méthode géométrique pour
évaluer les sommes des puissances
des entiers successifs, en vue
du calcul de sommes de Darboux

Marc Rogalski [1]

Résumé de l’article

L’introduction de l’intégrale en terminale S par l’aire demande de familiariser les élèves avec la notion « d’aire courbe », c’est à dire d’évaluer certaines sommes de Darboux. Ces évaluations peuvent permettre de motiver l’approche du « théorème fondamental de l’analyse ». Pour les graphes de fonctions puissances, cela demande de savoir calculer certaines sommes de puissances d’entiers. L’article propose une méthode géométrique générale et très naturelle, immédiate à retrouver soi-même, permettant ces calculs pour de petits exposants. Elle est à la portée d’élèves de terminale S.
Après un rappel sur les diverses aires déjà vues (aires de polygones et de disques) et les propriétés de l’aire, suit la généralisation à l’aire enfermée entre deux courbes, puis encadrée par les sommes de Darboux. Le calcul est appliqué à la parabole puis à une cubique, et suggéré pour les fonctions puissances de degrés plus élevés. Enfin, le lien est fait avec la définition de l’intégrale par l’aire du sous-graphe.

Plan de l’article

• Introduction
• 1. Introduction et motivations
• II. Le principe de la méthode
• III. Pour en savoir plus : le calcul de $S_{q+1}(n)$ pour q $\le$ 3

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