Résumé de l’article
L’étude porte sur deux nombres évaluant de façon différente la taille d’un ensemble fini de points du plan, ces nombres généralisant les notions de rayon et diamètre. L’auteur définit le disque minimal et montre son unicité, s’il existe. Il étudie ensuite l’existence et la détermination dans les cas de 2, 3 puis plus de 3 points. En annexe, il traite les cas particuliers où les 3 points forment un triangle rectangle, ou un triangle dont tous les angles sont aigus. Cette étude peut être (...)

Jean Lefort [1] d’après Eric Rowland Résumé de l’article
L’idée générale est la recherche de suites numériques qui ne donnent que des nombres premiers. L’auteur cite quelques formules, en particulier une formule découverte par Mat Frank et Eric Rowland. Ce dernier en a publié la démonstration développée dans cet article. Cette formule présente des défauts, elle donne beaucoup de 1 et il faut aller jusqu’à n=1000 pour n’avoir que 25 nombres premiers, qui ne sont pas tous différents. La formule idéale est (...)

Frédéric Mazoit [1] Résumé de l’article
L’auteur énonce un théorème présenté par H. Montgomery au cours d’une conférence. Théorème : « Soit R un rectangle pavé par une famille de tuiles rectangulaires. Si chaque tuile du pavage a au moins un de ses côtés de longueur entière, alors R vérifie cette propriété ». Il en donne trois démonstrations différentes. La première (de Michael S. Paterson) passe par la théorie des graphes, la deuxième (d’Adrien Douady) utilise une approche algébrique, la troisième (de H. (...)

Résumé de l’article Partant de l’idée d’introduire des paramètres dans des développements en séries de « fonctions ordinaires » et d’en étudier la convergence, l’auteur définit pour q réel distinct de 1 la fonction q-analogue de la fonction f, toute fonction fq de R ou C dans C telle que la fonction limite de fq pour q tendant vers 1 soit la fonction f. Il définit ensuite la q-dérivation à laquelle s’adaptent les formules habituelles de la dérivation. Puis viennent les cas des fonctions de bases (polynômes, (...)

Présentation
Anne Ruhlmann est impliquée depuis plusieurs années dans des projets eTwinning. Voici un bref aperçu des sujets proposés accompagné d’un bilan de ses années d’expérience. En annexe deux des projets détaillés et commentés. Un article plus complet est en ligne sur le site de l’APMEP ainsi que dans le n° 12 de Mathematice]
Tout a commencé par l’échange et la résolution d’histoires-problèmes imaginées par des élèves de deux classes de Cinquième de deux collèges bretons.
La découverte en 2005 du (...)

proposées par Jean FROMENTIN et Nicole TOUSSAINT.
136 pages en 17 × 24. Très claire présentation.
No ISBN : 2-912846-35-8.
Comme son titre l’indique, cette nouvelle brochure APMEP veut épauler l’enseignement des maths à la fois au collège et à l’école élémentaire, en une nécessaire continuité.
Elle reprend des articles du « Bulletin vert » particulièrement significatifs, vrais documents de base jugés plus que jamais d’actualité : Six sont issus du « Groupe de Réflexion et de Propositions sur les (...)

Lafond Michel Résumé de l’article
Le plus grand nombre premier, découvert en septembre 2006, est un nombre de Mersenne d’indice 521. L’objet de l’article est de démontrer la primarité de ce nombre, le niveau de la démonstration étant de BAC+1. Les calculs nécessaires peuvent être entièrement réalisés sur une simple calculatrice, grâce au test de Lucas-Lehmer qui date de 1930 environ. L’énoncé de ce test est suivi par la démonstration de la partie directe puis de son application au nombre de Mersenne d’indice (...)

Marie-Hélène Salin
Résumé de l’article L’auteur aborde le “facteur temps” dans l’enseignement de la géométrie par trois entrées : la dimension historique (évolution de la présentation des contenus et des objectifs), le temps de l’apprentissage et ses étapes, le temps de l’enseignement vu du côté de l’enseignant. Le fil rouge de l’exposé est un problème concret, nécessitant le réinvestissement des connaissances des élèves. Après avoir défini les caractéristiques des problèmes spatiaux et examiné les programmes, (...)

Résumé de l’article Ayant étudié le rôle des dessins dans l’élaboration de la géométrie euclidienne, ce rôle et le fait que cette géométrie ait des applications dans la vie courante impliquent l’idée d’une stabilité des théorèmes géométriques : Si on démontre que des hypothèses entraînent toujours une conclusion, alors on peut penser qu’en modifiant peu les hypothèses, la conclusion est elle-même peu modifiée. La géométrie est passée de la géométrie traditionnelle à la géométrie axiomatique, puis à la géométrie (...)

Jacques Verdier
Résumé Dès qu’Euclide eut énoncé son cinquième postulat, on a trouvé sa formulation complexe. Certains ont voulu le remplacer par un énoncé plus simple (ex : Par un point extérieur à une droite on peut tracer une et une seule parallèle à cette droite). D’autres ont pensé qu’il devait avoir rang de théorème, et donc cherché à le démontrer : sa négation devait aboutir à une contradiction. On n’a pas trouvé de contradiction, mais cette négation entraînait des propriétés géométriques « incroyables », (...)

Langenaken Philippe
Résumé de l’article L’auteur explique que les élèves qu’il reçoit dans les études supérieures d’économie ont pour seul bagage mathématique des connaissances de formules et de routines de calcul qui leur ont permis dans l’enseignement secondaire de résoudre des exercices types. Il leur manque une « culture » graphique qui leur permettrait de mieux appréhender l’applicabilité des objets mathématiques aux problèmes rencontrés en économie. L’auteur propose de faire utiliser par les étudiants (...)

Villers Claude ; Frémal Mady ; Gossez Renée ; Haine Robert ; Van Hooste Christian
Résumé de l’article Cet article synthétise un article paru dans le dossier d’Exploration didactique Des démonstrations, à la rencontre des compétences au travers de thèmes et lui fait suite. Cet ouvrage concerne les quatre dernières années du secondaire et il est le fruit d’un travail collectif. La progression présentée ici concerne des lieux de points, et les démonstrations offrent une grande diversité dans les stratégies (...)

Résumé de l’article
L’auteur effectue les puissances successives d’une somme de deux racines carrées ou de l’expression somme d’un nombre et de la racine carrée d’un autre nombre, et il découvre des particularités intéressantes du résultat. Il les explicite et les explique.
Cet article peut-être l’occasion d’exercices et de prolongements à divers niveaux sur les racines carrées. Plan de l’article 1. Le point de départ 2. Pourquoi « ça marche » ? 3. Et avec $a+b\sqrtd$ ? 4. Et avec deux radicaux ? 5. (...)

Nodet Maëlle
Résumé de l’article Pour étudier les courants en profondeur de l’océan, les océanographes utilisent des flotteurs lestés dont ils suivent les déplacements par un système de positionnement acoustique. Ce positionnement du flotteur peut se formuler comme un problème d’optimisation, c’est-à-dire de minimisation d’une fonction bien choisie.
L’auteur étudie d’abord le problème en dimension 1. Il formalise le problème et il illustre, sur des exemples, l’approche naïve et l’approche par optimisation. (...)

Bopp Nicole
Résumé de l’article L’auteur présente l’algorithme de CORDIC (COodinate Rotation Digital Computing) utilisé par les calculatrices pour obtenir les valeurs de certaines fonctions, en particulier la fonction logarithme. Pour comprendre l’intérêt de cet algorithme et surtout sa précision, l’auteur montre comment les questions qu’on se pose naturellement mènent à un théorème dont la démonstration exige un peu d’analyse élémentaire. Son objectif est de convaincre certains étudiants, affichant haut et (...)

Résumé de l’article
Le spectre d’un nombre réel, positif, non nul x est la suite des parties entières de ses « multiples » : x, 2x, 3x, 4x,... La notion apparaît dans les années 1920 chez des mathématiciens américains et ce spectre est une véritable signature du réel donné. Lorsque x est irrationnel (on parle alors de suites de Beatty) on peut mettre en évidence des propriétés tout à fait curieuses et intéressantes. Plan de l’article Introduction 1. Définition du spectre d’un nombre réel. 2. Les suites de (...)

Kentzel Jean-François Résumé de l’article
Par une étude fine de la représentation graphique d’une fonction exponentielle, l’auteur montre, qu’à l’échelle près, la courbe est la même quel que soit l’intervalle de définition choisi. Il étudie les deux cas, avec un exposant positif, puis avec un exposant négatif. Ce phénomène est explicité par : « Les lois exponentielles sont sans vieillissement, ou sans mémoire ». Un deuxième point de vue : "La fonction est multipliée par une constante quand on change (...)

par Jean-Pierre Raoult
Les lecteurs du Bulletin Vert de l’APMEP ont pu prendre connaissance, dans le numéro 461 (novembre-décembre 2005), d’une note de Claudine Schwartz, intitulée Projet de site web sur la statistique dédié aux enseignants. Il s’agissait de l’annonce de la mise en place d’un dispositif à l’intention des professeurs de collèges et lycées, intitulé Statistix. Celui-ci s’exprime par le biais de ce site, www.statistix.fr, qui est ouvert depuis juin 2006 ; il est appelé à s’enrichir (...)