À propos d’un édito de Michel Fréchet

Jacques Treiner [1]

Dans son éditorial du 16 juin, Michel Fréchet plaide pour des programmes de mathématiques plus « mathématiques », c’est-à-dire plaçant la démonstration au centre de l’enseignement de la discipline. S’agissant de pluridisciplinarité, il imagine « certains cours de sciences où interviennent simultanément des enseignants de mathématiques et de sciences, confrontant ainsi leur pratique devant les élèves ».

C’est, comme il le rappelle, ce que propose l’APMEP avec l’option sciences en seconde ; c’est également ce que propose le collectif Action-sciences.

Autant je me sens en accord avec ces perspectives [2], autant son argumentation préalable concernant les rapports entre mathématiques et sciences expérimentales ne me parait pas correspondre à ce qui se fait, ou peut se faire, par exemple, dans des groupes mixtes d’enseignants de mathématiques et de physique.

Reprenons le désormais classique exemple de l’introduction de l’exponentielle. Michel Fréchet, bien qu’ayant une préférence pour l’ordre historique (logarithme puis exponentielle), indique que cela ne le choque pas « de rechercher les solutions de l’équation différentielle y’ = y et de montrer que la fonction exponentielle en est une solution. On peut alors, une fois cette notion acquise par les élèves, montrer qu’elle intervient en sciences physiques ».

La description que propose Michel Fréchet s’inscrit dans la logique des « mathématiques qui s’appliquent en physique », et non dans celle des « mathématiques constitutives de la physique », conception qui correspond mieux à la richesse des relations entre les deux disciplines, sans pour autant menacer le caractère hypothético-déductif ou la cohérence de l’édifice mathématique introduit.

Une telle description me semble ainsi manquer l’essentiel de ce qui a motivé le changement opéré [3] , et que je rappelle ici brièvement.

Le point important, en effet, est d’expliquer aux élèves pourquoi on s’intéresse à l’équation y’ = y.

Il convient ici de rappeler brièvement la logique du programme de terminale S en sciences physiques. Le thème sous-jacent de ces programmes est l’évolution temporelle des systèmes (c’est en partie le cas également en SVT). Plusieurs fois au cours de l’année, les élèves rencontrent des situations physiques qui ont en commun le fait que le rythme de variation d’une grandeur est proportionnel à elle-même : radioactivité, circuiterie électrique, mouvement d’une particule soumise à un frottement fluide. L’exemple de la radioactivité est opérationnellement le plus simple, car il suffit de compter des coups (événements de désintégration) pendant des intervalles de temps donnés. C’est en raison de cette simplicité opérationnelle que nous l’avons placé en début d’année.

Les données expérimentales sont « résumées » par la relation :

$\frac{\Delta N}{\Delta t}=- \lambda n $

(le coefficient de proportionnalité $\lambda$ est à déterminer à partir des mesures, on ne le connaît pas a priori). Le signe « = », ici, a le sens qu’il a en physique : toutes les grandeurs sont entachées d’incertitudes liées à leurs fluctuations, et même si l’on ne s’intéresse qu’aux valeurs moyennes (en répétant plusieurs fois la même expérience dans les « mêmes » conditions), poser un signe d’égalité a valeur d’hypothèse physique : il semble bien que … ; si c’était vrai, est-on capable de comprendre pourquoi ? etc.

À ce stade, deux voies d’analyse s’offrent, qu’il convient d’explorer toutes deux avec les élèves en les distinguant soigneusement :
- 1. On cherche à déterminer la valeur de $\lambda$ à partir des données expérimentales. Pour cela, on écrit :

$ N(t+\Delta t)= N(t)+\frac{\Delta N}{\Delta t}\Delta t= N(t)(1-\lambda\Delta t) $

Partant de la valeur expérimentale N(0), et pour une valeur choisie de $\lambda$, on peut calculer les valeurs $N(n\Delta t)$. On cherche alors, par tâtonnement (un tableur quelconque permet de faire cette recherche rapidement), s’il existe une valeur de $\lambda$ telle que les valeurs calculées coïncident (aux incertitudes près) avec les valeurs mesurées. On y parvient facilement.
- 2. La seconde voie consiste en une démarche d’abstraction à partir de l’équation « physique ». Elle consiste à considérer mentalement des intervalles de temps de plus en plus petits et à passer à la limite. J’insiste sur le mentalement, car si, dans la pratique expérimentale, on prenait des intervalles de temps de plus en plus petits, on verrait apparaître, comme toujours dans ce cas, de nouveaux phénomènes : en l’occurrence, les fluctuations relatives se mettraient à augmenter, le caractère discret des comptages d’événements deviendrait dominant, et une description continue ne serait plus pertinente. Dit d’une autre façon, le rapport $\frac{\Delta N}{\Delta t}$ des grandeurs mesurées n’a pas de limite lorsque $\Delta t$ tend vers zéro ! La limite de ce rapport se trouve donc dans le registre de la modélisation et non de l’expérimentation. Il s’agit donc bien de s’abstraire du phénomène empirique et de mettre en place le modèle mathématique correspondant au modèle physique proposé. On voit alors « émerger » l’équation différentielle $\frac{dN}{dt}= -\lambda N $ .

En s’affranchissant des aspects dimensionnels, on met en évidence l’équation y’= y.

L’exponentielle est alors définie dans le champ des mathématiques comme solution de cette équation (on montre que cette solution existe) et l’on s’aperçoit, cerise sur le gâteau, que le graphe de la fonction $N(0) exp(-\lambda t)$, si l’on prend pour valeur de $\lambda$ la valeur trouvée précédemment, passe bien au milieu des points expérimentaux.

Je ne pense pas que la démarche ainsi décrite et pratiquée tombe sous le coup de « l’habillage » que dénonce Michel Fréchet, et d’autres collègues avec lui. Ne laissons pas la lecture de quelques sujets d’examen mal rédigés masquer un enjeu d’enseignement qui en vaut la peine.

La progression esquissée ici illustre ce que nous avons appelé le rôle constitutif des mathématiques pour la physique. Les mathématiques n’y ont pas le rôle d’outil pour la physique, aucune discipline n’est au service de l’autre. Plusieurs groupes d’enseignants des deux disciplines suivent cette démarche dans leur enseignement (des documents deviennent disponibles sur des sites académiques). Tous font état de la difficulté, pour eux, à franchir le pas du travail commun avec les collègues de l’autre discipline, mais tous témoignent également de l’efficacité de la démarche auprès des élèves, à la fois pour les mathématiques et pour la physique. D’autres exemples sont proposés dans notre article La double émergence, avec Claudine Robert, dans le numéro 453, de septembre-octobre 2004, du Bulletin Vert.

Pour conclure, je reprendrais volontiers quelques lignes de cet article, dans lesquelles nous disions : « Pour les physiciens, poser la question de l’existence de la solution de l’équation différentielle y¢ = y semble incongru, voire futile. Cette attitude s’explique de deux façons : d’une part, ils ont d’une certaine façon « oublié » que d’autres travaillent à produire des concepts qui fonctionnent correctement ; d’autre part, ils sont sûrs que la solution existe, car ils ont confiance dans la modélisation physique qu’ils ont faite (l’idée que le taux de désintégration est proportionnel au nombre de noyaux présents) : une solution mathématique doit exister, parce que les noyaux se désintègrent ! Ils voient la fonction dans le “ monde réel ”, devant leurs yeux. En un certain sens, ils ont raison, c’est leur façon d’avancer. En faisant cela, ils identifient le « monde réel » et sa « représentation », ce qui n’est pas sans danger : on peut tomber sur des pièges. Pensons à la théorie des transitions de phase et à la façon d’aborder la “ limite thermodynamique ”. Les mathématiciens veulent être sûrs que le palais qu’ils élaborent est correctement construit, et qu’un mur ou une fenêtre ne vont pas subitement s’effondrer. Il est très intéressant que chaque communauté soit exposée aux préoccupations les plus profondes de l’autre. »


[1] Ex-président du GEPS de physique-chimie

[2] Avec peut-être une nuance : il s’agit moins, pour les professeurs, de confronter leur pratique, que d’aider les élèves à mieux comprendre les rapports entre les disciplines. Sinon, c’est l’élève qui, recevant tous les discours en parallèle, doit en imaginer la cohérence.

[3] Il se trouve que je suis à l’origine de cette proposition, qui fit l’objet de nombreuses discussions entre les GEPS de mathématiques et de physique-chimie.