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Analyse variationnelle et optimisation

Éléments de cours, exercices et problèmes corrigés.

Paul Louis Hennequin

- 15 décembre 2010 -

par Dominique Azé et Jean-Baptiste Hiriart-Urruty.
Cépaduès, mars 2010.
348 p. en16,5 x 24.
ISBN : 978-2-85428-903-9.

Destiné aux étudiants de troisième année de Licence et de première année de master de mathématiques, et donc aux capésiens et agrégatifs ainsi qu’aux futurs ingénieurs, ce livre constitue un corpus introductif très progressif de la dimension finie au modèle hilbertien, centré autour du cadre convexe et il demande à être complété suivant les cursus.
Il est divisé en deux parties, la première dévolue aux éléments de cours, la seconde, d’un volume double, aux exercices et problèmes corrigés (une centaine dont, pour la moitié environ, les auteurs indiquent la source et il faut les en louer).
- I. Éléments de Cours.

  • 1) Rappels et compléments d’analyse (principe variationnel d’Ékeland, différentiabilité, fonctions convexes).
  • 2) Introduction à l’optimisation (optimisation avec contrainte, séparation et dualité).
  • 3) Introduction à la programmation linéaire (dualité, perturbation des données).
  • 4) Conditions d’optimalité (nécessaires du premier ordre, contraintes d’inégalité et d’égalité, contraintes du second ordre).
  • 5) Introduction aux espaces de Hilbert (Théorème de projection, bases hilbertiennes).
  • 6) Introduction à la formulation variationnelle de problèmes aux limites (exemples, introduction à la méthode des éléments finis).
    Cette partie s’achève par une page de « vignettes historiques » qui fixent en quelques traits la figure de quelques uns des mathématiciens cités.

- II . Exercices et problèmes corrigés.

C’est la partie la plus originale ; elle permet au lecteur de se familiariser avec les concepts et théorèmes du cours en s’impliquant dans une recherche ; les 68 premiers exercices sont en dimension finie, les 35 autres, en dimension infinie ; ils sont classés par difficulté  : * (niveau L3), ** (M1), *** (au delà) et de longueur très variée.
En dimension finie, ils concernent des objets géométriques (convexes, cônes, enveloppe positive de m points, polyèdres, points extrémaux, fonction d’appui, minimisation d’une somme d’angles, d’une fonction de type produit sur le simplexe-unité, maximisation
- d’un volume sous contrainte de ficelage,
- de l’aire d’un triangle,
- d’un quadrilatère de périmètre donné,
- des aires des parties latérales d’un tétraèdre, Pythagore en 3D, convexes compacts du plan de largeur constante, volume du polaire d’un convexe), mais aussi minimisation des fonctions quadratiques, d’une énergie, d’une entropie, du parcours de visite de trois droites de l’espace, le théorème de d’Alembert-Gauss, la régression statistique, la programmation linéaire, un exemple d’optimisation linéaire avec contraintes en probabilité, le choix du meilleur investissement financier, les réseaux électriques, la maximisation du volume d’un container dans une coque ellipsoïdale, la position d’équilibre d’un fil élastique suspendu, la caractérisation de la fonction gamma par log-convexité.
En dimension infinie, la régularisation par convolution, les espaces de Sobolev, le calcul d’un cône polaire, le problème du brachystochrone, le principe variationnel d’Ékeland et ses applications, un problème de commande optimale traité comme problème de projection, un problème de Fermat, convergences forte et faible dans un Hilbert, les points les plus éloignés, calcul sur les cônes polaires, séparation d’une fonction convexe et d’une fonction concave.

On voit toute la richesse de ce volume qui présente des recherches et des techniques développées durant ces cinquante dernières années, en les appliquant à des questions anciennes venues des domaines les plus variés.

La bibliographie se limite à l’essentiel ; regrettons l’absence d’index qui permettrait de rechercher un auteur, un théorème ou une application, mais cela est compensé par les détails que donne la table des matières.

Félicitons nos deux collègues d’avoir utilisé leur longue expérience d’enseignants et leur pratique de la recherche pour nous offrir ce volume qui incite à prendre sans retard crayon et gomme pour se plonger dans un exercice. Ils contribuent ainsi, quatre siècles après Fermat à diffuser le savoir et le savoir-faire toulousain.

Paul-Louis HENNEQUIN