Résumé de l’article

Les "mathématiques modernes" n’avaient pas de rapport au réel. En 1986, la question de la pertinence de ces mathématiques a conduit aux nouveaux programmes privilégiant les problèmes réels et la démarche expérimentale, en mettant les élèves en situation d’activité. En mathématique, la modélisation est une "représentation" au sens de nouvelle description liée au modèle choisi. La géométrie est une première modélisation, géométrie euclidienne, géométrie sphérique selon le cas. On distingue la géométries "naturelle" concernant les objets physiques et la géométrie "axiomatique naturelle" des objets idéalisés. L’auteur montre les interactions entre les deux et traite un exercice nécessitant le passage de l’une à l’autre. Par contre, la géométrie "axiomatique formelle" ne permet pas le retour à la réalité.
Le monde des "nombres" naît du monde des "grandeurs" via la "mesure".
L’auteur fait l’historique des "entiers naturels", du système décimal, du calcul (opérations et algorithmes). Il montre que l’appel au réel peut être un obstacle pour la résolution de certains problèmes. Puis il passe à la notion de codage et à la réversibilité du traitement dans un modèle (fonction piège).
Ensuite vient le passage de l’arithmétique à l’algèbre et la résolution d’équations par la géométrie (Al-Kwarizmi) et l’apport du monde arabe. Suit le passage du discret au continu, modèle privilégié du traitement mathématique avec la mise en forme de la droite réelle. L’informatique a fait apparaître la notion de "nombre calculable" et à contrario de nombres "définissables" mais totalement "inreprésentables" et "inconnaissables", pour lesquels le rapport à la réalité n’a plus de sens.
Un deuxième article traitera du rapport des mathématiques à la réalité avec les statistiques et les probabilités.

Plan de l’article

• Introduction
• D’un enseignement de structure à un enseignement de modélisation … ou les tribulations d’un enseignant de mathématiques en collège
• Une première modélisation du monde « physique » : la géométrie
• Du monde des « grandeurs » au monde des « nombres » via la « mesure »
• Continuité et/ou rupture des modèles dans l’enseignement ?

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