De la multiplication "per gelosia" aux bâtons de Néper

Atelier présenté par Bernard MARTIN à la journée de la Régionale du 13 mai 2017

Préliminaires

Cet atelier a été conçu pour une visite accompagnée. Il comporte :

  • Cinq fiches, en format A4, en accès libre pour une lecture en autonomie.
  • Une affiche, format A3, reproduisant deux utilisations historiques de la multiplication "per gelosia". L’une est issue d’un écrit chinois, et l’autre du manuscrit de Pamiers (vers 1430).
  • Une affiche autour de l’utilisation des bâtons de Neper.
  • Une fiche conçue pour la découverte en autonomie de la multiplication « per gelosia ».

L’objectif est double :

  • Manipuler la technique de multiplication "per gelosia".
  • Manipuler les bâtons de Neper en effectuant d’abord des multiplications et des divisions, puis en extrayant une racine carrée.

La multiplication "per gelosia"

C’est une technique opératoire basée sur la numération décimale. Elle se réalisait sur une planchette de bois peinte en noir, avec de la craie et un chiffon. Elle a été utilisée en Inde, en Islam, en Chine et en Europe entre les 13ème et 15ème siècles. Elle se pratiquerait encore aujourd’hui en Turquie. Cette méthode apparaît en Europe dès la parution (en 1202) du « Liber Abaci » l’ouvrage de Léonard de Pise (plus connu sous le nom de Fibonacci).

Ce procédé serait calqué sur un algorithme indien probablement antérieur à la numération de position (René Taton, Histoire du calcul). On a besoin d’avoir à sa disposition une table de multiplication pour pouvoir utiliser cette technique. Cette méthode est assez simple. On retrouve les mêmes produits que pour la multiplication classique, mais indépendants. Toutes les cellules se calculent directement, dans un ordre quelconque et sans retenue. Seule l’addition est un peu plus longue. C’est une méthode plus fiable, où l’on fait moins d’erreurs et qui permet d’apprendre plus vite à faire l’opération de multiplication que celle classique.

Les bâtons de Neper

En 1617, l’année de sa mort, Neper publie « Rhabdologiae sev numerrationis per virgulas », un livre dans lequel il décrit un procédé destiné à simplifier les opérations de multiplication, division, etc. et aussi à les rendre plus fiables.

Le mot Rhabdologiae, est une création de Néper à partir de la racine grecque ραβδος (baguette). Le mot baguette est repris dans le titre, cette fois en latin avec virgulas (attention au contre sens).

Le dispositif, décrit par Néper, est constitué d’un plateau à rebord, sur lequel peuvent être placées des baguettes. Le bord gauche du plateau est divisé en neuf cases numérotées de 1 à 9. Les dix types de baguettes, gravées sur les quatre faces, peuvent être en bois ou en os, d’où les appellations « Bâtons de Néper » ou de « Napier’s bones ».

L’avantage de cette technique est de dispenser de la mémorisation des tables de multiplications, ce qui rend les calculs plus simples et aussi plus fiables ; les erreurs provenant, le plus souvent, d’une mauvaise maitrise des tables de multiplications.

Ce dispositif connut un grand succès en Europe jusqu’au début du XXe siècle.