Énigme 1

On considère trois nappes circulaires de même rayon $R$.

Déterminer le rayon de la plus grande table circulaire qu’on peut recouvrir entièrement avec les trois nappes.

Une solution

figure 1

Soit $A$, $B$, $C$ les centres des trois nappes, et $A’$, $B’$, $C’$ les points d’intersection extérieurs des trois nappes, comme dans la figure 1 ci-contre.

Il s’agit donc de maximiser le diamètre du cercle circonscrit au triangle $A’B’C’$.

On peut déjà remarquer que les trois angles de $A’B’C’$ sont aigus, car les trois nappes ont le même rayon (c’est facile à comprendre et plutôt pénible à prouver ! Donc je passe…), et que les trois côtés ont pour longueur maximale $2R$.

L’idée intuitive est donc de maximiser les dimensions de $A’B’C’$ pour maximiser le rayon de son cercle circonscrit, idée qui n’est valable que pour des triangles aigus. Pour ce faire, on procède de la manière suivante. On fixe la base $B’C’$, et on fait tourner $A’$ autour de $B’$ en maintenant $A’B’$ constant jusqu’à ce que ou $A’C’ = 2R$.

À l’issue de cette phase, le point d’intersection des médiatrices de $[A’B’]$ et $[B’C’]$ est « plus haut », donc le rayon du cercle circonscrit a augmenté. On recommence en gardant la même base et en tournant autour de $C’$, avec $A’C’$ constant… jusqu’à obtenir un triangle isocèle de base $B’C’$ et de côtés $A’B’ = A’C’ = 2R$. Il suffit alors de faire la même suite d’opérations en changeant de base pour obtenir irrémédiablement un triangle équilatéral de côté $2R$, qui admet donc un cercle circonscrit de rayon maximal (Cf. figure 2).

figure 2

On trouve alors facilement que le rayon de la plus grande table vaut (ce qui n’est pas franchement rentable vu le triple de lessive à faire pour gagner 33 % de surface !).