Exercices

Exercice 482-1
Ce premier exercice provient d’archives que possédait Henri Bareil. Il est issu de la revue mensuelle de variétés scientifiques Le Facteur X, no 68 de février 1961. Cette revue, à laquelle Gilbert Walusinski prêtait sa plume, proposait des « problèmes à chercher (un peu) tout seul ». En voici donc un, modeste, dont le caractère un tant soit peu désuet à l’ère de l’euro, ne doit pas dissuader d’un traitement moderne. Au contraire !
Reprenant la rubrique, je souhaitais rendre hommage à ces deux piliers, modestes et modernes, qui ont été et demeurent l’âme de l’association.

Bruno Alaplantive

Avec 6 Nouveaux Francs exactement, Yves a acheté des cartes A à 45 francs, des cartes B à 40 francs et des cartes C à 30 francs. Le nombre des cartes A est supérieur à celui des cartes B et à celui des cartes C.
Combien Yves a-t-il acheté de cartes de chaque sorte ?
N.B – Il faut compter, au moins, deux cartes B et deux cartes C.
(rappel pour les moins de cinquante ans : 1 Nouveau Franc = 100 francs).

Exercice 482-2 (Georges Lion – Wallis)

• Soit x, y et z, trois entiers premiers > 3. Montrer que ${x}^2 + {y}^2 + {z}^2$ n’est pas premier.
• Soit m et n deux entiers. Montrer que si $m^4 + 4n^4$ est distinct de 5 alors ce nombre n’est pas premier (résultat dû à Sophie Germain).

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 482-3 (proposé par la Régionale de Toulouse)
« La somme des carrés des côtés d’un parallélogramme est égale à la somme des carrés de ses diagonales. »
Établir ce résultat et proposer un puzzle.

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 482-4 (Jean Théocliste – Valence)
Calculer $I=\int_{0}^{\pi \over 4} \ln(1+\tan x)\ \mathrm dx$ et $J=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{1+\sin x}\ \mathrm dx$ .

Solutions

Exercice 479-1. (Pierre Renfer – Ostwald)
À l’occasion de mon cinquante-neuvième anniversaire, j’ai trouvé sans démonstration, dans l’excellent livre « Les nombres remarquables » de François Le Lyonnais », que 59 était le nombre de régions découpées dans l’espace par les plans des faces d’un octaèdre régulier.
Comment le prouver ?

Nous avons donné la solution de l’auteur dans le Bulletin no 481. Une nouvelle solution nous a été transmise depuis par Michel Lafond, avec, en complément, un traitement informatique sous Maple. Voici cette solution :

Exercice 479-2 (Jean Théocliste – Valence)
On considère l’équation

$$9x^4 - 14x^2 + 8x - 1 = 0 (E)$$

Autres solutions : Jean-Claude Carréga (Lyon) , Alain Corre (Moulin),
Jean-Pierre Friedelmeyer (Osenbach), Jean Théocliste (Valence).

Exercice 479-3 (Georges Lion - Wallis)
Le quadrilatère convexe ABCD est inscrit dans un cercle $\Gamma$.
Le quadrilatère convexe MNPQ est circonscrit à $\Gamma$ et tel que A $\in$ [MN], B $\in$ [NP], C $\in$ [PQ], D $\in$ [QM].
Montrer que les diagonales (AC), (BD), (MP), (NQ) sont concourantes.

Pierre Renfer (Ostwald) nous fait remarquer que le résultat est encore vrai si l’on remplace le cercle par une conique : on se place dans le cadre du plan projectif.
Soit U le point d’intersection des droites (MN) et (PQ).
Soit V le point d’intersection des droites (NP) et (MQ).
Si l’on choisit la droite (UV) comme droite de l’infini, le quadrilatère (MNPQ) est un parallélogramme dont le centre est le centre O de symétrie de la conique.
Le point O est aussi centre de symétrie du quadrilatère (ABCD) des points de contact.
Les deux quadrilatères sont donc des parallélogrammes dont les diagonales se coupent
en O.

Autres solutions : Jean-Claude Carréga (Lyon), Bernard Collignon
(Coursan), Alain Corre (Moulins), Jean-Pierre Friedelmeyer
(Osenbach), Georges Lion (Wallis).

Exercice 479-4 (Marc Royer – Montélimar)
1) ABC étant un triangle éventuellement aplati, montrer que les médianes issues de B et C sont perpendiculaires si et seulement si $AB^2 + AC^2 = 5 BC^2$.
2) Trouver tous les triangles « orthomédians » dont les longueurs des côtés sont des nombres entiers.

Autres solutions : Bernard Collignon (Coursan), Alain Corre
(Moulins), Marc Royer (Montélimar).

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