Épreuves écrites du CAPES (3 volumes)
*12 sujets et corrigés (2015 à 2011). 198 pages en 17 x 24 ISBN 978236493515.
*8 sujets et corrigés (2010 à 2005), 180 pages. ISBN 9782364935167.
*8 sujets et corrigés (2004 à 2001, 2014) 160 pages. ISBN 9782364935174.
Par François Gramain.
Cépaduès, collection « Bien maîtriser les mathématiques », Janvier 2016.
Suivent quelques conseils qui concernent
tous ceux qui rédigent des textes mathématiques
de concours ou d’examen et que l’auteur
s’applique bien entendu à lui-même :
vérifier si l’on a bien utilisé toutes les hypothèses,
suivre les règles typographiques, donner
une fois pour toutes une démonstration
par récurrence, respecter la numérotation des
questions du texte.
Suit un inventaire d’une
vingtaine de mots ou de locutions du langage
mathématique qui posent problème :
Alors : dans une démonstration il ne peut
avoir qu’un sens causal : Si…alors …
Avec : mot interdit qui remplace une quantification
qu’il faut expliciter
Base (d’un espace vectoriel) : il est insensé
de parler de la matrice de l’application linéaire
f dans la base …
Base (de numération) : base 10 n’a pas de
sens, écrire base dix.
Être mathématique : il ne fait rien : une
fonction ne croît pas mas elle peut être croissante.
Forme (de la) : on énonce l’inclusion d’un
ensemble dans un espace vectoriel alors qu’il
y a identité.
Formule : mot dangereux car il est nécessaire
de vérifier que les hypothèses sont satisfaites
avant d’utiliser les conclusions du
théorème.
Intégrale impropre : elle ne converge ni ne
diverge mais peut simplement être convergente
(et alors elle vaut …) ou divergente.
Intégration par parties : pour pouvoir l’appliquer,
il faut vérifier la continuité de $f’ $et
de $g’$.
Limite : avant de l’utiliser dans des calculs,
il faut démontrer qu’elle existe.
Montrer que : les démonstrations des physiciens
ne font que montrer.
Nombre : complexe, entier, rationnel, réel,
sont des adjectifs et il est regrettable de les
utiliser comme substantifs dans les énoncés
du CAPES.
On peut : en mathématiques il faut distinguer
il existe et on peut trouver.
Positif : être précis dans l’utilisation des
symboles ≥ et >.
Quantificateurs : il s’agit de symboles
logiques qui doivent respecter les règles
logiques en particulier de parenthésage mais
cela peut alourdir les rédactions.
Récurrence : pas d’année sans raisonnement
par récurrence dans l’écrit du CAPES ; avoir
une écriture réflexe d’une démonstration en
évitant « il existe ».
Séries : voir intégrale impropre.
Sigma : les différentes écritures de la somme
de $n = a$ à $n = b$ de $u(n)$ déterminent des algorithmes
distincts d’exécution et d’efficacité.
Suites : l’auteur propose de définir les suites
convergentes comme suites bornées susceptibles
d’être réordonnées en suites monotones.
Je regrette l’absence d’une grille qui permettrait de voir comment se répartissent les sujets entre les différents domaines du programme et celle d’un index des noms propres qui donnerait des repères historiques et fournirait des pistes de lecture transversale .
Souhaitons que la lecture de ce triple ouvrage aide les candidats à bâtir, structurer et présenter des solutions solidement étayées qui leur ouvriront toutes grandes les portes du concours.