Exercices

Exercice 499-1 piochés de-ci, de-là… à proposer à nos élèves

A. Trois carrés sont placés côte à côte à l’intérieur d’un
triangle rectangle, comme le montre la figure ci-contre.
Le plus petit carré mesure 16 mm de côté et le côté du
plus grand 36 mm. Combien mesure le côté du carré du
milieu ?

B. Les segments [BE], [CE], [AF] et [BF] partagent le
rectangle ABCD ci-contre en plusieurs régions.
Quatre d’entre elles sont ombrées, deux triangles et deux
quadrilatères.
Leurs aires respectives sont 2, 1, 13 et x.
Déterminer la valeur de x.

C. Déterminer tous les couples (x, y) de nombres entiers tels que :

$$\ln x - \ln y = \ln (x - y).$$

Voir l’article où est publiée la solution

Exercice 499-2 (Georges Lion – Wallis)
Soit BAC un triangle tel que AB = AC et soit Γ le demi-cercle centré au milieu O de [BC], contenu dans le triangle et tangent à (AB) et (AC) respectivement en D et E.
Par un point variable M de Γ on mène la tangente à Γ qui coupe (AB) en P et (AC) en Q.
1) Exprimer l’angle en fonction des données fixes de la figure.
2) Trouver une relation caractérisant les points P et Q en termes de longueurs.

Voir l’article où est publiée la solution

Exercice 499-3 (Bernard Collignon – Coursan)
Soit l’équation du second degré $x^2 + bx + c = 0.$
Les nombres b et c sont tirés au hasard dans l’intervalle [ -5 ; 5 ] ; on appelle X la variable aléatoire égale au nombre de solutions réelles de cette équation.
Donner la loi de probabilité de X et calculer l’espérance E(X) dans les cas suivants :
1) b et c sont des nombres entiers relatifs.
2) b et c sont des nombres réels.

Voir l’article où est publiée la solution

Exercice 499-4 (Georges Kocher – Ravières)
Prouver que pour tout entier naturel n non nul on a :

$$\sum_{k=1}^{n} \cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n+1}\right)=\frac{1}{2}$$

Voir l’article où est publiée la solution

Solutions

Exercice 497-1 (Daniel Reisz – Auxerre) à proposer à nos élèves

• Dans une feuille de papier on découpe un trou circulaire de 3cm de diamètre.
  Peut-on y faire passer une pièce de 4cm de diamètre ?
  Solution de Michel Lafond (Dijon)

• Les équations $ax^2+ bx + c = 0, cx^2 + ax + b = 0$ et $bx^2+ cx + a = 0$ peuvent-elles avoir toutes les trois deux racines réelles ?
  Solution de Richard Beczkowski (Chalon sur Saône)
  Solution de L.G Vidiani (Fontaine les Dijon)

• Pour un nombre réel x, on note $\lfloor x \rfloor$ sa partie entière (le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x) et on note sa partie décimale $\{x\}$. Existe-t-il des réels x tels que $\lfloor x \rfloor \times \{x\}=x$ ?
  Solution de Henry Plane (Paris) transmise par Daniel Reisz

Exercice 497-2 Georges Lion (Wallis) extrait du livre de Robin Hartshorne : Euclid and beyond

Soit ABC un triangle dont tous les angles sont aigus.
$A_0, B_0 \text{ et } C_0$ sont les pieds des hauteurs issues
respectivement de A, B et C.
$A_2$ et $A_3$ sont les projetés orthogonaux de $A_0$ sur
(AC) et (AB) ; $B_1$ et $B_3$ ceux de $B_0$ sur (BC) et (BA)
 ; $C_1$ et $C_2$ ceux de $C_0$ sur (CB) et (CA).
Démontrer que les six points $A_2, A_3, B_1, B_3, C_2$ et
$C_3$ sont situés sur un même cercle.
On demande de préférence, une solution reposant exclusivement sur des propriétés des angles, des droites, des cercles et des quadrilatères inscriptibles, c’est-à-dire excluant tout recours aux proportions et aux triangles semblables.

Solution de Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques)

Exercice 497-3 pioché de-ci, de-là…

En perspective cavalière on sait dessiner sur un cube la trace de sa section par un plan passant par 3 points donnés, comme sur l’exemple ci-contre dans lequel les points ont été choisis sur les faces de dessus, de devant et de droite.
Indiquer une procédure permettant d’obtenir cette
trace dans la réalité, c’est à dire sur un vrai cube ; ou
sur la perspective mais à l’aide de tracés limités
exclusivement aux faces.

Solution de Jean Lefort (Wintzenheim)

Exercice 497-4 pioché de-ci, de-là…
Calculer $I=\int_0^1 \left[ \frac{1}{x}-E\left(\frac{1}{x}\right) \right] dx$ (où E désigne la partie entière).

Solution de Raymond Heitz (Piriac)

Autres solutions : L.G Vidiani (Fontaine les Dijon), Jean Gounon (Chardonnay), Jean-Yves LeCadre (Saint Avé), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Richard Beczkowski (Chalon sur Saône), Bernard Collignon (Coursan), Jean-Claude Carréga (Lyon).

Remarque : Dans sa réponse, L.G Vidiani indique le résultat suivant :
Si pour tout couple (n, p) de $\mathbb N^* \times \mathbb N^*$ on note $n_p$ le reste de la division euclidienne de n par p, alors la moyenne arithmétique des $n_p/p$ est I.

<redacteur|auteur=500>