Kepler — Bürgi — Néper  

Atelier conçu par André Bonnet et présenté par Joël Denisot à la Journée de la Régionale du 13 mai 2017.

Préliminaires

Cet atelier explore la manière dont Kepler aurait pu se servir de la table de Bürgi (qu’il connaissait dès 1604) ou des logarithmes de Néper (dont il a eu connaissance dans l’ouvrage Mirifici logarithmorum canonis descriptio qu’il a eu en mains en 1617) pour formuler le 15 mai 1618 sa troisième loi sur le mouvement des planètes.

Deux approches étaient proposées :

  • À la main
    en utilisant le fac-similé de la table de Bürgi ou la table de Néper
  • Avec un tableur (Excel par exemple)
    en utilisant une formule pour générer les logarithmes de Bürgi ou de Néper.

La mise en évidence de la relation de proportionnalité, entre le carré de la période et le cube du demi-grand axe de l’orbite, est obtenu par :

  • le report sur un graphique des six points
    correspondants aux six planètes connues à l’époque) avec pour coordonnées (Bglog(a), Bglog(T)
  • le tracé par le tableur de la fonction correspondant au tableau (Bglog(a), Bglog(T)).

L’alignement des six points et le calcul de la pente de la droite support égale à $\dfrac32$ (ou $\dfrac23$ suivant le choix des abscisses et ordonnées) aurait permis à Kepler de mettre en évidence la relation $\dfrac{a^3}{T^2} = \text{Cte}$ bien avant le 15 mai 1618 (date à laquelle il a eu l’idée de sa troisième loi).

 

Compte-rendu de l’atelier

À partir des valeurs dont disposait Kepler, les participants de cet atelier devaient compléter la feuille de calcul donnée avec les nombres rouges de Bürgi, notés Bglog(x), pour les différentes planètes.

La formule à utiliser était =10*[ln⁡(X)+ln⁡(10)]/ln(1,0001), pour les valeurs de a (en UA) et T (en années).

Le même travail était ensuite demandé avec les logarithmes de Néper.

Ici, les formules sont =LN(10^9*a-7*T) et =LN(10^9*T)-7*LN(10°).

 
Le tableur permet d’afficher la courbe donnant Bglog(a) en fonction de Bglog(T) et de constater que cette courbe est une droite.

Le même travail est fait pour Nlog(a) et Nlog(T) avec la même conclusion.

Cette conjoncture graphique est alors contrôlée par le calcul des coefficients directeurs des segments reliant deux points successifs de ces courbes. On constate que ces coefficients sont égaux à deux centièmes près.

Nous pouvons remarquer que le tableur est un outil permettant de s’affranchir des calculs, mais que l’écriture de certaines formules complexes peut engendrer quelques erreurs.

 

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