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L’Algèbre linéaire en problèmes

Paul Louis Hennequin

- 7 mai 2012 -

par Paul Halmos,

traduit par Martine Bellaïch de Linear Algebra Problem Book, the Mathematical Association of America, 1995.

Cassini, collection L n° 1, avril 2011. 380 p. en 12,5x 19.

ISBN : 978-2-84225-089-8, 15€.

Paul-Halmos (1916-2006) est connu internationalement pour la qualité des nombreux livres d’enseignement qu’il a écrits pour les étudiants en mathématiques de 1942 à la fin du siècle. Il faut donc féliciter les éditions Cassini de nous donner une traduction d’un ouvrage d’algèbre linéaire rassemblant des problèmes et destiné aux étudiants des premières années d’université, qu’ils se destinent à la recherche en mathématique ou à son utilisation comme discipline de service.

Le livre est divisé en trois parties :
- les énoncés s’articulant les uns aux autres et précédés chacun d’une entrée en matière,
- des indications de quelques lignes facilitant les déblocages et la recherche, – et enfin les solutions détaillées.

Il aborde tous les aspects de l’algèbre linéaire, tels qu’ils figurent dans les programmes de licence :
- 1) Scalaires (Transformations affines, éléments neutres, groupes, corps).
- 2) Vecteurs (Espaces vectoriels, sous- espaces, dépendance).
- 3) Bases (Changements de bases, bases incomplètes, dimension d’un espace quotient).
- 4) Transformations (Image et noyau, inversibilité, déterminants, matrices, projecteurs).
- 5) Dualité (Dual, annulateurs, transposition).
- 6) Similitude (Changement de base, rang d’une somme et d’un produit, équivalence).
- 7) Formes canoniques (Valeurs propres, triangularisation, nilpotence, forme de Jordan).
- 8) Espaces hermitiens (Produit scalaire, adjoints, formes quadratiques, projections).
- 9) Normalité (Diagonalisation des hermitiens, Matrices de Gram, racines carrées non positives, …).

Ce qui frappe immédiatement le lecteur, c’est la grande liberté qu’a prise l’auteur pour le parcours qu’il propose ; il ne s’agit pas d’un manuel, et l’exposé n’est nullement progressif  : les problèmes vont et viennent d’un sujet à l’autre, du plus facile au plus difficile et de nouveau au plus facile ; ainsi la place d’un énoncé ne fournit aucune indication sur les méthodes à employer ni sur sa difficulté : certains sont accessibles aux débutants, d’autres feront sécher les experts. La solution contient parfois des commentaires qui ne peuvent être donnés auparavant sans vendre la mèche.

Ce qui fait le charme du livre c’est la fraicheur du style qui aide le lecteur à progresser.

Remercions la traductrice d’avoir su transmettre cette fraicheur et donnons-en quelques exemples :

La meilleure façon (et même la seule façon convaincante) de répondre à des questions sur l’ensemble vide est de se demander quand elles pourraient être fausses.
C’est un bon principe en mathématiques, si on a pu faire quelque chose une fois, d’essayer de répéter, encore et encore, c’est-à-dire d’itérer quand c’est possible.
La démonstration du cas général comporte un petit piège.
De nouvelles idées et des méthodes plus sophistiquées sont nécessaires. Elles existent, mais elles viendront plus tard.
La démonstration prend une ligne, mais il faut penser à une astuce.

Un livre à recommander chaleureusement à tous les étudiants, en particulier aux candidats au CAPES, mais aussi à tous ceux qui utilisent régulièrement l’algèbre linéaire dans leur activité professionnelle, par exemple les statisticiens, les gestionnaires ou les médecins.

(Article mis en ligne par Christiane Zehren)