par Michel SERFATI,
avec préface de J. Bouveresse.
Collection « Transphilosophique ».
Éd. PÉTRA.

Brochure de 444 pages en 14 × 22.

Présentation correcte, mais austère. Des reproductions de documents anciens, beaucoup de notes. Table des matières détaillée (5 pages). Bibliographie de deux pages et onze titres (commentés) pour Descartes, Leibniz et Viète. Bibliographie générale de 19 pages et 207 titres (bibliographie de thèse et de référence, inutilisable par le lecteur lambda…).
N^o ISBN : 2-84743-006-7.
Prix : 32 €.

• Ce livre est, comme son auteur, à la croisée de mathématiques savantes (déclinées de façon accessible à la fois riche et claire), de philosophie, d’épistémologie et d’histoire des mathématiques.
  L’auteur nous est bien connu :
  • En 1993, Michel Serfati a produit, pour l’APMEP, une brochure (n^o 86) intitulée « QUADRATURE DU CERCLE, FRACTIONS CONTINUES ET AUTRES CONTES. Sur l’histoire des nombres irrationnels et transcendants aux XVIII^e et XIX^e siècles ». Cette brochure, qui fait toujours autorité, est périodiquement rééditée…
  • Michel Serfati écrit beaucoup (ce qui lui vaut 24 titres dans sa bibliographie), et anime de très riches séminaires à thèmes annuels et réunions mensuelles à l’Institut Henri Poincaré (cf., par exemple, le Bulletin 457, page 296).

• Voilà donc, d’un auteur d’immense culture et de talent, un ouvrage destiné à être, à juste titre, la référence pour le domaine étudié.
  Pour une fois, parce que je ne saurais mieux faire en un texte bref s’agissant d’un ouvrage aussi volumineux et dense, et parce que je la trouve d’une sobriété très honnête, je vous livre la présentation éditoriale d’une brochure solidement construite, sans répétitions :
  « Cet ouvrage de philosophie, d’épistémologie et d’histoire des mathématiques est d’abord consacré à décrire la constitution de l’écriture symbolique mathématique. Il est construit autour de la thèse de philosophie soutenue par son auteur – un mathématicien professionnel – et d’une critique argumentée d’un certain platonisme « spontané ». Le premier objectif est de cerner épistémologiquement le passage historique entre les périodes grecque et médiévale, où tout s’écrit et se calcule dans la langue naturelle, aux écritures symboliques raffinées, semblables aux écritures modernes, de la fin du XVII^e siècle.
  L’ouvrage démontre qu’il s’est agi, non pas simplement d’un « changement de notations », mais bien d’une révolution symbolique », décisive et historiquement datée. Les mathématiques empruntèrent des voies conceptuellement neuves après cet « avènement symbolique » dix-septiémiste –, dès lors ainsi situé à la racine des mathématiques modernes et contemporaines. Au travers des contributions des trois protagonistes essentiels, Viète, Descartes, et Leibniz, l’ouvrage analyse, à propos de divers signes (telle la « lettre »), les avatars de leurs occurrences et de leur constitution, puis les motifs profonds de leur triomphe ultime ou de leur abandon.
  Il montre ensuite en quoi l’avènement de l’écriture symbolique a contribué à l’invention en mathématiques même, tâchant ainsi d’éclairer la nature intime de ce « pouvoir de créer » chez les mathématiciens qu’évoque Dedekind et que relève Cavaillès. »

• L’ouvrage est constitué de DEUX PARTIES :
  I. LA CONSTITUTION DE L’ÉCRITURE SYMBOLIQUE MATHÉMATIQUE, en dix chapitres et 237 pages. Je note dans le premier, les six figures fondamentales de la représentation  : du « requis » (la ou les inconnues), du « donné », des instructions opératoires élémentaires, de l’enchevêtrement des instructions, des mises en relation (égalité, …), des concepts composés (ainsi la « lignée » des puissances), …
  II. SYMBOLIQUE ET INVENTION, en cinq chapitres et 158 pages. En liaison avec tel texte du présent Bulletin, on lira avec un intérêt particulier, au chapitre XIV, les pages sur les exponentielles « newtonienne », « leibnizienne » et sur « le schéma du prolongement ». Le chapitre XV, de CONCLUSION, revient d’ailleurs, avec bonheur, sur « les deux regards qu’on peut historiquement porter sur l’exponentielle leibnizienne $ a ^{z}$ », le premier s’efforçant « de lui trouver une, puis des significations », alors que, désormais, « cette même “ forme ” recouvre une expression légitimement construite dans la syntaxe d’un langage formel, et dont on peut chaque fois décider si elle admet ou non des significations, pour certaines interprétations des lettres en jeu, […] ». Mais voilà, explique Michel Serfati, qu’on recommence constamment, ainsi pour passer au calcul booléen, à porter un regard du premier type…
  L’auteur termine par une allégeance à « la langue symbolique avec ses capacités, ses lacunes et ses contraintes (son histoire aussi […] », par delà des distinctions « hiérarchisées » entre « les “ idées ” – d’essence prétendument noble – et le “ calcul ” – dont la fonction ne serait qu’ancillaire – ».

• Cette recension de l’ouvrage de Michel Serfati voudrait permettre d’appréhender tout son intérêt. Chaque enseignant de mathématiques, au moins, devrait l’avoir en sa bibliothèque, ou, à défaut, dans celle de son établissement.