« LE FABULEUX DESTIN DE $\sqrt{2}$ », par Benoît Rittaud. Éd. Le Pommier.

452 pages en 13,5 × 20, clairement présentées, dont 15 inutiles pages de surabondante bibliographie, 2 pages d’un Index de 24 démonstrations d’irrationalité, 4 d’un bon Index de vocabulaire, 3 de Table des matières assez détaillée.

ISBN 2-74650275-5.

Prix : 29 €.

Benoît Rittaud, collaborateur de La Recherche, fait partie de l’équipe « Tangente » et ses précédents ouvrages aux éditions du Pommier ont déjà retenu l’attention de notre Bulletin.

Cette fois, voici , humble leader des irrationnels, « piste d’entrée de pans entiers des mathématiques » ; « davantage qu’un simple guide, une constante fondamentale ». Le livre se veut de « vulgarisation », sans prérequis notable (quatre pages initiales rappellent l’essentiel, élémentaire), qui « montre plus qu’il ne démontre »...

PREMIÈRE PARTIE : QUATRE MILLE ANS D’HISTOIRE

• Chapitre 1 (13 pages) « Les signes du fond des âges » : de Babylone, qui perfectionne un initial 1,411, à l’Inde avec une meilleure approximation grâce à une somme de fractions.

• Chapitre 2 (12 pages) « Et l’incommensurabilité fût »...

• Chapitre 3 (14 pages) « L’avènement d’un nombre » ... avec une implication de $\sqrt{2}$ dans « la structure ultime de la matière » !...

• Chapitre 4 (16 pages) « L’arbre et la racine »... « L’irrationnel le plus simple ? » ; « La musique face à l’incommensurable » ; ... ; ordinateur et notation polonaise inversée ; ... ; et l’irrationalité de $\sqrt{2}$ fondée sur « si deux entiers n’ont pas de diviseur commun, leurs carrés n’en ont pas non plus »...

• ANNEXE : « La plus ancienne démonstration d’incommensurabilité particulière à deux grandeurs »... (5 pages).

DEUXIÈME PARTIE : L’IRRATIONNELLE

• Chapitre 5 (13 pages) « Un nombre dont le carré vaut 2 ». La démonstration la plus classique de l’irrationalité, avec un bagage préalable de logique élémentaire et « des implications concernant l’infini »..., est suivie de « l’existence de deux nombres irrationnels tels que l’un élevé à la puissance de l’autre » soit rationnel... La démonstration correspondante, fondée sur le tiers exclu, « affirme l’existence d’un objet sans montrer cet objet »...

• Chapitre 6 (17 pages) « Le pair, l’impair et les cailloux »

• Chapitre 7 (14 pages) « L’arithmétique modulaire ou comment rendre rationnel". S’amorce ainsi une liste de racines carrées entières de 2 ... (tandis qu’au Chapitre 18 on verra que n’existe pas chez les 10-adiques.

• Chapitre 8 (11 pages) « Quand les chiffres partent à gauche »... ! Voici de nouveaux univers, de nombres « 10- adiques » ou « g-adiques » (avec un nombre infini de chiffres « à gauche »), leurs opérations, ... avec leurs curiosités éventuelles (ainsi pour ...9999 opposé de 1)... Dans l’ensemble des entiers 7-adiques, on trouve deux racines carrées de 2 (avec une jolie « construction » à gauche, chiffre après chiffre : « ...16213 » et « ...50454 » (dont la somme est égale à 0, comme celle de et − ), toujours irrationnelles...

• ANNEXE (8 pages), sur une démonstration dite « difficile », mais agréable, avec Pythagore et ses triplets, de l’irrationalité de (et d’autres radicaux)...

TROISIÈME PARTIE : UNE CONSTANTE UNIVERSELLE

• Chapitre 9 (19 pages) « La diagonale du carré », qui est sa « duplicatrice » : cf. architecture, photo, arts graphiques, et ... « rectangle diagonal » (longueur = largeur ) avec des applications, ...

• Chapitre 10 (16 pages) « Entre un et deux ». Où l’auteur revient sur les rapports « d’harmonie », diverses moyennes, les gammes, une approche de $\sqrt{2}$ en combinant moyennes arithmétiques et harmoniques, ...

• Chapitre 11 (19 pages) « Le double de son inverse »... : retour sur le « rectangle diagonal » (cf. chapitre 9), avec une étude exhaustive sur les formats de papier ; évocation du nombre d’or, de ses avatars (dans la nature, l’art, ...), de ses liens avec la suite de Fibonacci, ... avec une « moralité : quand on veut à tout prix faire apparaître un nombre quelque part on y arrive toujours » (survenue après une « légère » modification de la suite de Fibonacci qui conduit alors à 1 + $\sqrt{2}$.) Une conclusion logique : « Géométrie, arithmétique, analyse, ..., dans ces contrées et elles seules, résident la beauté et la magie de $\sqrt{2}$, de pi , du nombre d’or ou de e, qui sont autant de nombres d’or. D’un or mathématique ».

• Chapitre 12 (13 pages) « Comment ne pas voir partout $\sqrt{2}$ » (impossible à résumer).

QUATRIÈME PARTIE : LES DÉCIMALES de $\sqrt{2}$

• Chapitre 13 (13 pages) « Des raisons d’être précis »... : logarithmes ; ... 47 extractions successives de $\sqrt{2}$ ; ... pi et les polygones réguliers (avec la belle formule de Viète relative à $\sqrt{2}$).

• Chapitre 14 (15 pages) « Extraire la racine carrée de deux » :
  • prise en « tenaille » ;
  • extraction de naguère (comme en Chine au 4^e siècle) ;
  • méthode de Héron ;
  • les zéros de Newton et les ordinateurs ;
  • ...

• Chapitre 15 (14 pages) « Les chasseurs de décimales », avec les « destins croisés de $\sqrt{2}$ et de pi » ... à partir de la lemniscate, de sa longueur v, et d’une relation de Gauss , ... (M = « moyenne arithmético- géométrique »)... De là, en 1999, 206 milliards de décimales pour $\sqrt{2}$, ... et autant pour pi .

• Chapitre 16 (16 pages) « Le hasard et la normalité », avec plus de questions, initiées par Borel, sur les décimales (fréquences d’un chiffre, ...) que de réponses... Borel définit la « normalité » (fréquences identiques pour des chiffres isolés, des séquences de n chiffres, ...) et « la problématique des nombres normaux se rapproche de celle des transcendants » ! En 1909, Borel établit qu’un nombre tiré « au hasard » a « toutes les chances » d’être normal, ... mais on attendra 1917 pour en expliciter un ! Puis viendra celui de Champernowne : 0,12345678910111213..., généralisé en 1952 par Davenport et Erdös. La question de la normalité de $\sqrt{2}$, e ou pi reste ouverte, avec, actuellement, un pronostic favorable pour $\sqrt{2}$...

CINQUIÈME PARTIE : AU DELÀ DES DÉCIMALES

• Chapitre 17 (18 pages) « Des fractions sans fin », avec « de très belles démonstrations de l’irrationalité de $\sqrt{2}$ », grâce aux fractions continues (très bien présentées).

• Chapitre 18 (16 pages) « Au plus près de $\sqrt{2}$ », à partir d’une méthode, liée aux fractions continues, qui s’est imposée dans l’horlogerie au XIX^e siècle, avec, aussi, des « approximants de Farey », des « nombres diagonaux » et des « nombres latéraux » déjà apparus chez les Grecs...

• Chapitre 19 (16 pages) « Le monde des numérateurs ». De beaux « arbres » d’approximations par dichotomies : arithmétique, géométrique, harmonique... Puis une « anthyphérèse inversée » et un « retour inattendu » de la méthode de Newton.

• Chapitre 20 (14 pages) « Regard symbolique », ... avec un « codage sturmien », issu d’un problème de calendrier, formé d’une suite de 0 ou de 1 provoqués par des intersections d’une demi-droite issue de l’origine avec le « grillage » des coordonnées entières... (à préciser avec le livre !).

• ANNEXE : « Un miracle sur machine à calculer » avec un excellent calcul, en fractions continues, pour le seul radical de 2 (!) et non pour radical de 3, radical de 5....

SIXIÈME PARTIE : LE SOMMET DE LA PYRAMIDE DES NOMBRES attribué, en quatre chapitres et 64 pages, à partir de plusieurs points de vue et un suspense constant entre le nombre d’or et $\sqrt{2}$ ex aequo ! Plus difficile que les parties précédentes, celle-ci ouvre entre autres sur la cinématique de l’électron, l’équation de Schrödinger, voire sur la géométrie hyperbolique (qui offre « le point de vue le plus global sur les fractions continues »)...

Une ANNEXE offre trois pages de belles formules.

L’ÉPILOGUE, en deux pages, évoque six interventions « extraordinaires » de $\sqrt{2}$ : à propos de la vitesse de libération d’un satellite ; du « manuscrit Voynich » ; d’un cristal « piège à lumière » ; de la théorie des erreurs ; du fractale « ensemble de Julia » qui à tout complexe z associe z au carré − 2 ; d’une définition de quaternions ; ... En prime, une vingt-quatrième démonstration de l’irrationalité de $\sqrt{2}$, reproduite, en ce Bulletin, page 358.

MA CONCLUSION ? Un livre foisonnant en même temps dense et accessible, clair et charpenté, une magnifique promenade mathématique, en un style fort agréable, riche de paysages et de points de vue multiples... Sceptique, au départ (un livre énorme sur $\sqrt{2}$ ), j’ai été très vite conquis, subjugué, ravi ! (D’où l’ampleur de ma recension)

Henri BAREIL