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Processus aléatoires pour les débutants.

Paul Louis Hennequin

- 7 mai 2012 -

par Arthur Engel, traduction révisée de Wahrsheinlichkeitsrechnung und statistik Bd2, Ernst Klest, 1976 d’après une première traduction d’Eliane Zaïbak :

L’enseignement des probabilités et de la statistique publiée par Cedic-Nathan en 1978. Cassini, collection L no 2, avril 2011.

342 p. en 12,5x 19. ISBN : 978-2-84225-090-4, 15€.

Cette nouvelle édition d’un des ouvrages à succès publiés par CEDIC dans sa collection Formation des maîtres il y a une trentaine d’années, en reprend le texte et les nombreuses figures tout en modernisant l’avant-propos, la table des matières et la bibliographie  :
- 1) Un cours accéléré de Probabilités.
- 2) Compléments mathématiques (séries géométriques, logarithme, Stirling).
- 3) Chaînes de Markov (espaces probabilisés dénombrables, changements d’états).
- 4) Promenades aléatoires sur une droite, retour à l’origine, mouvement brownien.
- 5) Réduction de graphes, formule de Mason.
- 6) Fonctions génératrices (définition, lois géométrique, de Pascal, binomiale, temps d’attente).
- 7) Nombres aléatoires (générateur, aiguille de Buffon, rencontre).
- 8) Processus de branchement (définition, extinction, cas critique).
- 9) Étude génétique des populations (lois de Mendel et de Hardy-Weinberg, consanguinité).
- 10) Processus de Poisson et loi exponentielle.
- 11) Processus de naissance et de mort, files d’attente.
- 12) Comportement asymptotique des chaines de Markov à deux puis N états, modèle d’Ehrenfest.
- 13) Le théorème limite central pour le lancer d’une pièce, la loi de Poisson et la loi binomiale.
- 14) Test d’arrêt optimal (choix d’une secrétaire).
- 15) Probabilités et théorie des nombres.
- 16) Une nouvelle méthode pour les chaines de Markov absorbantes ou non.

Chaque chapitre comporte une vingtaine d’exercices assez brefs et la plupart sont résolus en fin d’ouvrage. Quatre pages d’index facilitent la recherche d’une définition ou d’une propriété.

Quand la première édition est parue, en 1978, beaucoup d’étudiants, en particulier en mathématiques, arrivaient en fin d’étude sans aucune formation en calcul des probabilités et celui-ci tenait une place minime au lycée.

Il n’en est plus de même aujourd’hui et l’utilisation systématique des arbres et graphes ainsi que des générateurs de suites pseudo- aléatoires font de la lecture de cette seconde édition une nécessité pour qui veut comprendre l’enchainement des expériences, présenter à des débutants des exemples pertinents de processus et entreprendre une étude détaillée des chaînes de Markov finies. Je la recommande donc vivement à tous les enseignants et en particulier aux candidats au CAPES.

Je me permets une remarque : pour obtenir une réalisation d’un processus, l’auteur utilise systématiquement et dès la première page, les lancers successifs d’une roue de loterie de périmètre unité et je pense que c’est très pertinent du point de vue didactique. Il figure cette roue par un cercle surmonté d’une flèche passant par son centre, différents angles au centre dont la réunion est le disque entier permettent de matérialiser les valeurs possibles d’une variable aléatoire. Mais rien n’est précisé sur la réalisation physique d’une telle roue, ni sur le lancer de l’aiguille, ni donc sur la façon de s’assurer que sa position d’arrêt est uniformément répartie sur le cercle. or ceci est loin d’être évident et suppose des conditions sur l’impulsion initiale qui ne doit être ni trop faible ni trop forte ; ce point aurait mérité d’être soulevé, voire élucidé.

(Article mis en ligne par Christiane Zehren)