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Trois volumes pour la deuxième année de prépa.

Paul Louis Hennequin

- 7 février 2011 -

Les éditions PEARSON ont publié l’année dernière un volume destiné aux élèves de première année (Mathématiques MPSI-PCSI) dont Marc Roux a rendu compte dans le Bulletin n° 486, p. 112-114.

Elles publient cette année un volume pour chaque section de la deuxième année. Ces trois volumes se structurent suivant le même modèle que celui de première année :

Chaque chapitre comporte :

  • une présentation de quelques lignes à une page avec références historiques,
  • le développement du cours émaillé d’exemples, de mises en garde (rappels, attention !, méthode et synthèse), d’encadrés rappelant les notions fondamentales et les pièges à éviter, d’exemples d’algorithmes et de calcul formel et de questions tests permettant de valider progressivement les acquis, et se termine par un résumé réactivant les connaissances,
  • une préparation à l’interrogation orale (3 ou 4 exercices de colles conçus pour être traités en une heure), une vingtaine d’exercices ; un ou deux problèmes de concours.

Toutes les solutions sont regroupées dans la dernière partie.

L’impression en bichromie facilite la lecture des figures et la navigation dans l’ouvrage ; les principales commandes de Maple 13 et Mathematica 7 sont détaillées de façon logique au fil du texte.

Le DVD-ROM joint donne de nombreux exemples montrant l’intérêt du calcul formel pour résoudre certains problèmes. Les illustrations sont en couleur, mais on n’y trouve pas d’animations. Il comporte une version d’évaluation de Maple 13 et de Mathematica 7 ; une promotion spéciale étudiant pour ces logiciels (seuls langages de programmation utilisés dans les classes concernées) ; Dans chaque section on trouve des descriptions de commandes, des exemples de calcul formel ; éventuellement, les programmes correspondant aux exemples du cours, aux tests, exercices, problèmes ; un problème ou un TD de programmation ; ceci toujours sous quatre formes : fichier Maple, fichier Mathematica, et la reproduction de chacun en PDF.

Je reprends à mon compte les commentaires que faisait Marc Roux sur le volume de première année :
Les points forts de ce travail sont :

  • dans le cours, un souci pédagogique permanent  : exposé des idées générales au début de chaque chapitre ; conseils de méthode, signalement des risques de confusion et d’erreur  ; explications visant à donner du sens, à construire des images mentales ; prise en compte des savoirs antérieurs ; grand nombre d’exemples ;
  • la présence de résumés de chaque chapitre ;
  • la présence dans le cours des tests qui permettent de détecter une mauvaise compréhension avant d’aller plus loin ;
  • la rigueur et la clarté des démonstrations et de la structure du livre ;
  • le sérieux de la réalisation ;
  • l’importance accordée aux logiciels de calcul formel et à l’algorithmique (certaines démonstrations sont données sous forme d’algorithme) ;
  • la bonne adéquation des énoncés d’exercices et problèmes au niveau des étudiants ; leur choix, qui combine l’originalité et la présence des « grands classiques », et inclut des sujets de concours.

Les quelques réserves que l’on peut faire :

  • dans certains chapitres, les exercices ne sont pas très nombreux ;
  • les corrigés sont « secs », arides ; on n’y trouve pas de commentaires pédagogiques comme dans le cours ; et trop rarement on propose deux méthodes ;
  • les exercices du type observation-conjecture- démonstration, «  Comment montreriez-vous que ? » … sont rarissimes ;
  • les renvois, d’un chapitre vers un autre, du livre vers le DVD ou du DVD vers le livre, sont souvent imprécis (pas de numéro de page et de paragraphe).

Je passe maintenant à la présentation de chacun des trois volumes.

Mathématiques MP-MP*. Cours complet avec tests, exercices et problèmes corrigés

. ouvrage collectif sous la direction de Gérard Debeaumarché, Francis Dorra et Max Hochart.
Pearson Education, Cap Prépa deuxième année, juin 2010.
888 p. en 18,5 x 23, 49 €.

Partie 1-Algèbre [1- Groupes, anneaux (48 p.) ; 2- Espaces vectoriels, applications linéaires (23 p.) ; 3- Réduction des endomorphismes (60 p.) ; 4 Espaces préhilbertiens (30 p.) ; 5- Espaces euclidiens (34 p.)].

Partie 2- Analyse [6- Suites d’un espace vectoriel normé (48 p.) ; 7- Topologie des espaces normés (44 p.) ; 8- Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé (30 p.) ; 9- Fonctions vectorielles d’une variable réelle, Courbes paramétrées (48 p.) ; 10- Suites et séries de fonctions (30 p.) ; 11-Séries entières (30 p.) ; 12 Séries de Fourier (26 p.) ; 13- Intégration sur un intervalle (36 p.) ; 14- Théorème de convergence dominée, intégrales dépendant d’un paramètre (26 p.) ; 15- Équations différentielles linéaires (32 p.) ; 16- Fonctions de plusieurs variables réelles (48 p.) ; 17- Intégrales multiples et curvilignes (24 p.) ; 18 Équations différentielles non linéaires (26 p.)].

Parties 3 à 6, Solutions des tests (36 p.), colles (22 p.), exercices (104 p.) et problèmes (56 p.).

Le DVD-ROM, commun à ce volume et au suivant, comporte, outre des solutions d’exercices ou de problèmes 13 rubriques : Accélération de la convergence, Polynômes et fractions rationnelles, Listes d’entiers et permutations de [1,n], Courbes et surfaces, Équation différentielles, Commandes d’intégration, Réduction de Jordan, Algèbre linéaire, Espaces préhilbertiens, Diagonalisation, Méthode du pivot, Théorème fondamental de l’algèbre, Méthode des trapèzes, qui développent les méthodes numériques usuelles.

L’index de six pages qui termine ce volume recense deux fois le même item, par exemple : « inégalité des accroissements finis  » recensé à inégalité et à accroissements, par contre les auteurs doubles ne le sont qu’une fois, ainsi : inégalité de Cauchy-Schwarz se trouve à inégalité et à Cauchy mais pas à Schwarz.

Tout au long du texte, les noms propres sont accompagnés à leur première occurrence d’une note se limitant à donner leurs années de naissance et de mort et leur nationalité.

Mathématiques PSI-PSI*. Cours complet avec tests, exercices et problèmes corrigés.

ouvrage collectif sous la direction de Gérard Debeaumarché, Francis Dorra et Max Hochart.

Pearson Education, Cap Prépa deuxième année, juin 2010.
742 p. en 18,5x23, 49 €.
Ce livre est accompagné d’un DVD-ROM.
ISBN : 978-2-7440-7434-9.

Rédigé par la même équipe que le précédent, ce volume en est en grande partie extrait : La table des matières en est très voisine ; le nombre de pages, quand il est différent indique où il y a modification : (dans le cours moins d’accent sur les fondements de l’algèbre et de la géométrie, diminution de 12% de la place des exercices et problèmes).

Partie 1-Algèbre [1- Espaces vectoriels, applications linéaires (40 p.) ; 2- Réduction des endomorphismes (58 p.) ; 3 Espaces préhilbertiens (30 p.) ; 4- Espaces euclidiens (34 p.)].

Partie 2- Analyse [5 Espaces vectoriels normés (70 p.) ; 6- Séries de nombres réels ou complexes (22 p.) ;7- Fonctions vectorielles d’une variable réelle, Courbes paramétrées (48 p.) ; 8- Suites et séries de fonctions (26 p.) ; 9-Séries entières (30 p.) ; 10 Séries de Fourier (26 p.) ; 11- Intégration sur un intervalle (30 p.) ; 12- Théorème de convergence dominée, intégrales dépendant d’un paramètre (20 p.) ; 13- Équations différentielles (36 p.) ; 14- Fonctions de plusieurs variables réelles (48 p.) ; 15- Intégrales multiples et curvilignes (24 p.).

Parties 3 à 6, Solutions des tests (34 p.), colles (20 p.), exercices (90 p.) et problèmes (48 p.).

Mathématiques PC-PC*. Cours complet avec tests, exercices et problèmes corrigés.

ouvrage collectif sous la direction de François Héroult et Eric Le Nagard.
Pearson Education, Cap Prépa deuxième année, juin 2010.
988 p. en 18,5 x 23, 49 €.
Ce livre est accompagné d’un DVD-RoM.
ISBN : 978-2-7440-7338-7.

Construits sur la même structure que les précédents mais par une équipe différente, et bien que les programmes de cette section et de la précédente soient très voisins, le développement et le recueil d’exercices en sont indépendants. quoique le programme soit moins lourd, c’est de loin le plus volumineux des trois ( 11% de plus que le premier, 33 % que le second).

Partie 1-Algèbre linéaire [1- Compléments (56 p.) ; 2- Réduction des endomorphismes (38 p.) ; 3- Espaces préhilbertiens et espaces euclidiens (28 p.) ; 4- Endomorphismes orthogonaux et symétriques (32 p)].

Partie 2-Suites et fonctions [5- Espaces vectoriels normés (44 p.) ; 6- Suites et séries de nombres réels ou complexes (44 p.) ; 7- Séries de fonctions (26 p.)]

Partie 3-Fonctions d’une variable réelle : dérivation et intégration [8- Dérivation et intégration des fonctions à valeurs vectorielles (34 p.) ; 9- Dérivation et intégration (20 p.) ; 10- Intégrales impropres (56 p.)].

Partie 4-Séries entières, séries de Fourier [11- Séries entières (36 p.) ; 12- Séries de Fourier (36 p.)].

Partie 5-Équations différentielles, calcul différentiel et géométrie différentielle [13- Équations différentielles (62 p.) ; 14- Fonctions de plusieurs variables (52 p.) ; 15- Courbes et surfaces (62 p.)].

Partie 6-Révisions [16- Exercices et problèmes de synthèse (14 p.)].

Parties 7 à 10- Solutions des tests (74 p.), colles (28 p.), exercices ( 142 p.) et problèmes ( 84 p).

Cinq mathématiciens (Gabriel Cramer, Bernhard Riemann, Leonard Euler, Joseph Fourier et Gustav Lejeune-Dirichlet) sont honorés par un portrait et une note biographique, les autres sont cités et datés sans commentaires.

Le DVD-ROM, plus réduit que celui des deux précédents, comporte, outre quelques corrigés d’exercices et de problèmes, sept rubriques : Fonctions de plusieurs variables, Réductions de coniques, Courbes et surfaces, Équations différentielles, Séries de Fourier, Algèbre linéaire et réduction, Séries numériques.

En résumé

Intégrant résolument l’usage des outils modernes de calcul numérique ou formel, les trois volumes de cette œuvre monumentale vont prendre place, en faisant date, dans la longue série des traités destinés aux candidats aux grandes écoles, à qui il donnera les meilleurs pistes de travail pour aboutir au succès.

Bien entendu, chacun donnera aux étudiants d’une des options de deuxième année de licence, la possibilité d’un entrainement et d’une vue synthétique des structures mathématiques.

Il fournira aussi aux enseignants et colleurs de Spéciales une mine d’exercices et de problèmes et sera un outil de travail quotidien pour les agrégatifs.