Gérard Kuntz

Le bulletin de l’APMEP s’est intéressé dans les années passées à des logiciels
particuliers très ambitieux, les logiciels intégrés, appelés encore logiciels
multifonctions. Ces plates-formes intègrent dans une unité logicielle des outils
généralement distincts et sans communication entre eux : l’utilisateur dispose ainsi
simultanément d’un tableur, d’un grapheur, d’un logiciel de calcul formel et de
géométrie dynamique communicant entre eux et permettant de fructueux aller-retours,
indispensables dans une démarche expérimentale.

Casyopée et Xcas sont deux représentants de ces logiciels multifonctions, qui
commencent à être connus parmi les enseignants de mathématiques, leurs créateurs
développant une forte action militante et de nombreuses et intéressantes publications,
dont certaines ont donné lieu à débat dans notre revue [1]. Xcas est librement et
gratuitement téléchargeable. Casyopée nécessite l’installation préalable du logiciel de
calcul formel Mupad pro version 2.0.

Un article de Guillaume Connan, « XCAS, calcul formel (ou algébrique) et géomérie
dynamique au lycée » vient de paraître en ligne sur Mathematice [2]. Son ton est
résolument militant, apologétique par moments. En voici quelques exemples :
« XCAS existe depuis quelques années mais est très mal connu au lycée car sa
puissance fait peur », ou encore : « Nous commencerons en abordant la géométrie
dynamique au lycée car c’est un domaine où une comparaison avec les logiciels
massivement utilisés par les professeurs du secondaire est possible, ce qui n’est pas
le cas du calcul formel, de la programmation et surtout la possibilité d’associer les
trois plus le tableur qui constitue une des grandes forces de XCAS ».

Malheureusement, les exemples qu’il propose ne sont guère concluants en ce qui
concerne le projet d’associer dans un même mouvement « les trois plus le tableur ».

Dans le premier exemple l’auteur crée une figure de géométrie dynamique et étudie
l’aire d’un rectangle en fonction d’un paramètre. Il trace la courbe de l’aire en fonction
de ce paramètre. N’importe quel logiciel de géométrie dynamique sait faire cela, même
si la façon de faire diffère profondément. Car Xcas sait établir la formule explicite de
cette fonction, ce qui permettrait de faire ensuite un traitement algébrique du
problème, grâce au module de calcul formel. Malheureusement l’auteur se contente de
l’exhiber et n’en fait rien : la démonstration s’arrête net.

Le fait qu’il faille définir dans Xcas les objets par ligne de commande peut paraître
lourd et peu commode [3]. Même si ce choix rend les choses plus délicates, surtout en
première approche, ses vertus pédagogiques sont évidentes. Faire réfléchir les
utilisateurs aux objets mathématiques que la situation requiert, les obliger ensuite à
les définir avec précision, n’est pas un luxe et peut s’avérer payant à long terme. Mais
la francisation des expressions (elle est en cours d’après l’auteur) doit être accélérée,
et une interface plus conviviale me semble indispensable [4] .

Le deuxième exemple proposé par l’article (Xcas et les suites) peut, lui aussi, être
traité avec un simple logiciel de calcul formel (un grapheur y est toujours associé) :
là encore, le discours d’introduction n’est pas conforté par l’exemple. Il montre
cependant qu’on peut sortir de l’inévitable tableur pour traiter ce genre de questions,
et qu’utiliser un logiciel de calcul formel permet le calcul (et la preuve) de la limite,
par la résolution de f (l) = l.

La dernière situation proposée, « Preuve d’un théorème », est plus convaincante. Il
s’agit de prouver une propriété de la tangente d’une conique. La géométrie dynamique
permet de vérifier la vraisemblance de la propriété. Il reste ensuite à appeler la
fonction « produit scalaire » et son expression algébrique dans le cas envisagé, pour
constater sa nullité pour toutes les valeurs du paramètre (calcul formel).
L’orthogonalité annoncée est alors démontrée.

L’article promet plus qu’il ne réalise. Il peut de ce fait devenir contre-productif. Il faut
se méfier des effets d’annonce, car les adversaires des outils informatiques
s’engouffrent aisément dans ces brèches béantes, pour disqualifier la démarche en
général : mieux vaut ne pas trop leur offrir d’opportunités !

Mais l’article présente un intérêt pratique non négligeable : il donne la possibilité
d’une initiation précise aux différentes fonctionnalités de Xcas à partir des problèmes
proposés et traités. Le lecteur peut suivre pas à pas le travail détaillé que propose
l’auteur. Il peut mettre en oeuvre Xcas en vraie grandeur. C’est un premier pas, une
prise en main qui peut annoncer d’autres étapes.

Plus convaincant par rapport au projet annoncé [5] est l’article paru dans le même
numéro de MathemaTICE « Une approche des mathématiques à l’aide d’un logiciel
multifonctions ». Ses auteurs [6] nous livrent un bel exemple des performances de
Xcas et un aperçu de ses atouts pédagogiques.
À partir d’une situation géométrique (géométrie dynamique), on passe au traitement
d’expressions algébriques complexes représentant une aire (calcul formel). On réfléchit à l’interaction des deux cadres, on repart dans une nouvelle direction proposée
par des élèves (tableur), puis à la représentation d’une fonction de deux variables
(suggestion d’un élève). Un beau festival de changements de cadres et de registres, de
conjectures et de débats. L’article est relativement bref, il ne se disperse pas en
situations éclatées, il est honnête : « Jusque là, aucune preuve n’a été donnée. Elle
reste à faire. Mais ce n’était pas ici notre objectif. Il s’agissait seulement de montrer
quelques facettes de la recherche d’un problème, possibles grâce à XCAS, à ses
multiples fonctions, ainsi que les questions soulevées par les élèves, amenés à
fréquenter des objets mathématiques nouveaux, lors de cette exploration. ».

C’est ce genre de texte qui peut faire avancer la réflexion sur des outils lourds à mettre
en œuvre, mais remarquablement efficaces entre les mains d’enseignants expérimentés
simultanément sur les plans technique et pédagogique.

Signalons dans le même dossier de MathemaTICE, l’article de Jean-Baptiste Lagrange
« Le calcul algébrique au premier trimestre de Première S. Utilisation d’un outil
géométrique et symbolique » Plusieurs vidéos illustrent l’usage de Casyopée et de
ses possibilités d’allers et de retours entre divers cadres mathématiques. La
démonstration est plaisante.

Il convient enfin d’évoquer certaines calculatrices qui sont devenues à elles seules des
plates-formes multifonctions. Jean-Michel Ferrard en donne un exemple :
«  J’ai écrit des propositions de corrigés de la plupart (25 sur 27) des exercices de
l’expérimentation 2006/2007, en utilisant la calculatrice Classpad 300 de Casio.
Vous les trouverez sur www.mathprepa.fr , sous la rubrique “ New Bac S ”.
Je n’ai pas essayé de rédiger un hypothétique modèle de corrigé. J’ai plutôt cherché à
montrer ce qu’on pouvait faire avec une calculatrice à partir des sujets proposés. Le
simple fait qu’on puisse pratiquement traiter tous les exercices avec une calculatrice
est déjà en soi un élément de réflexion intéressant. »