À propos du pavage du Caire

Pour le pavage du Caire, si on suit les conseils de l’auteur de l’article ( lire : Pavage de pentagones ) on obtient comme « pentagone de base » ce très joli pentagone :

Tous ses côtés sont de même longueur. Deux de deux ses angles opposés sont droits. Il possède un axe de symétrie.

Première piste : construction du pentagone

Avant même de se lancer dans la construction règle-compas, imaginer quelle forme doit avoir ce pentagone à partir de la description précédente occasionne déjà discussions et échanges.

Les options possibles :
- donner le programme de construction
- réaliser la figure pas à pas avec les élèves ( voir Trace de pentagone ) en énonçant ou non ce que l’on trace ( dans le deuxième cas, l’élève est obligé d’être attentif à tous les gestes faits par le professeur )
- analyser les propriétés de la figure finale pour en déduire les étapes de construction

L’écriture du programme de construction peut être laissée aux élèves.

Deuxième piste : calculs divers et variés…

- calcul des angles , des diagonales… de ce pentagone ; on retrouve des dans quelques endroits …
- démontrer que la somme des trois angles obtus fait 360°
- prouver que l’on peut paver le plan avec un tel pentagone, alors que cela n’est pas possible avec un pentagone régulier…

Voir Angles, longueurs et pentagone.

Troisième piste : l’hexagone

- « fabrication » de l’hexagone de base pour le pavage… Combien de fois entend-on « c’est un losange ! »
- en utilisant des feuilles de différentes couleur, ce n’en est que plus beau !!!
- étude des angles, des propriétés géométriques …
- véritable intérêt d’utiliser un logiciel géométrie dynamique ( transformations du plan à utiliser pour , à partir d’un pentagone de base, construire cet hexagone…)

Quatrième piste : le pavage

- étude des transformations à utiliser pour fabriquer ce pavage
- « création » finale à l’aide d’un logiciel ou avec papier-ciseaux-colle !

Voir « Pavage »

Frédérique Fournier, Bruno Alaplantive