AMIENS - Exercice n° 1
Thème : ARITHMETIQUE, GEOMETRIE PLANE
Série concernée : S
ENONCE
Les oiseaux
Initialement, \(n\) oiseaux se trouvent chacun au sommet d’un poteau, ces
- soit tous deux rectangles ;
- soit tous deux acutangles (triangle dont les trois angles sont aigus).
Par exemple, pour
Appelons A l’oiseau posé en A avant l’envol. Sa position une fois reposé sera
notée A’.
Avant l’envol, les oiseaux A, B, C forment un triangle acutangle | | | Après l’envol, les oiseaux peuvent se reposer selon plusieurs combinaisons, par exemple : |
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| | Dans tous les cas, le triangle A’B’C’ est acutangle. |
Ainsi, 3 oiseaux forment un groupe de « bons géomètres ».
On rappelle que tous les polygones sont inscrits dans un cercle.
- Vérifier que 4 oiseaux forment un groupe de « bons géomètres ».
- Pour \(n = 5\), donner une position initiale et une position d’arrivée qui justifient que 5 oiseaux ne forment pas un groupe de « bons géomètres ».
- Pour \(n = 6\), les sommets des poteaux forment un hexagone régulier.
Montrer qu’il existe toujours 3 oiseaux qui, avant et après l’envol, forment un triangle rectangle.
Que peut-on conclure quant au fait que 6 oiseaux forment ou non un groupe de « bons géomètres » ? - Montrer que si \(n\) est pair,
\(n\) oiseaux forment nécessairement un groupe de « bons géomètres ».