Thème : ARITHMETIQUE, GEOMETRIE PLANE

Série concernée : S

ENONCE
Les oiseaux
Initialement, \(n\) oiseaux se trouvent chacun au sommet d’un poteau, ces $$\(n\)
sommets formant un polygone régulier à $$\(n\) côtés. Lorsqu’ils sont apeurés, ces
oiseaux s’envolent. Puis après quelques temps, ils reviennent se poser sur les $$\(n\)
poteaux, mais pas nécessairement à leurs positions initiales.
Deux oiseaux ne peuvent pas se poser sur le même poteau.
On dit que $$\(n\) oiseaux forment un groupe de « bons géomètres » lorsque, quelles que soient les positions avant et après l’envol, on peut trouver trois oiseaux (parmi les $$\(n\)) qui forment, avant et après l’envol, deux triangles

1. soit tous deux rectangles ;
2. soit tous deux acutangles (triangle dont les trois angles sont aigus).

Par exemple, pour $$\(n = 3\), on peut schématiser le problème de la façon suivante.
Appelons A l’oiseau posé en A avant l’envol. Sa position une fois reposé sera
notée A’.

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Ainsi, 3 oiseaux forment un groupe de « bons géomètres ».
On rappelle que tous les polygones sont inscrits dans un cercle.

1. Vérifier que 4 oiseaux forment un groupe de « bons géomètres ».
2. Pour \(n = 5\), donner une position initiale et une position d’arrivée qui justifient que 5 oiseaux ne forment pas un groupe de « bons géomètres ».
3. Pour \(n = 6\), les sommets des poteaux forment un hexagone régulier.
   Montrer qu’il existe toujours 3 oiseaux qui, avant et après l’envol, forment un triangle rectangle.
   Que peut-on conclure quant au fait que 6 oiseaux forment ou non un groupe de « bons géomètres » ?
4. Montrer que si \(n\) est pair, $$\(n\) oiseaux forment nécessairement un groupe de « bons géomètres ».