Tome II, par Roger CUPPENS

Coédition avec Cabrilog (sous la responsabilité APMEP)

128 pages en 17 × 24.
Belle présentation. Bibliographie. Index.

ISBN : 2-912846-13-7.

Prix, public : 10 €, Adhérent : 7 €.

En 1996, paraissaient sous les n^os 104 et 105 les deux tomes d’une brochure APMEP de Roger Cuppens : « Faire de la géométrie en jouant avec Cabri-Géomètre » (la version I), tomes rapidement épuisés.

Les prestations de Cabri II d’une part, les enrichissements prévus par l’auteur d’autre part, le conduisent à remplacer le tome n^o 105 par une nouvelle brochure en deux tomes :

• le tome I, brochure APMEP n^o 136, 144 pages, paru en janvier 2002. Prix adhérent : 7 €.
• l’actuel tome II, avec une pagination continuant celle du tome I.

Ces deux tomes seront complétés par une brochure sur les géométries hyperbolique et elliptique, actuellement en fin d’achèvement.

BREF RAPPEL DU SOMMAIRE DU TOME I (no 136)

Chapitre 1. Premiers exemples (mesure et déplacements, problèmes de limite et d’optimisation, coniques, droite de Simson, théorème de Morley).

Chapitre 2. Polygones réguliers (constructions exactes ou approchées), longueur du cercle, aire du disque et \(\pi\).

Chapitre 3. Fonctions et courbes algébriques (…, constructions, …, courbes algébriques en coordonnées polaires : limaçons de Pascal, coniques).

Chapitre 4. Le report de mesure sur un cercle : fonctions circulaires, circulaires inverses, partie entière ; roulement sans glissement ; courbes transcendantes en coordonnées polaires [familles des cycloïdes (épi ou hypo), des spirales, …].

Chapitre 5. Éléments de géométrie différentielle (retour sur les coniques, les droites de Simson – pour leur enveloppe –, la cycloïde, l’astroïde, les limaçons de Pascal, la deltoïde, la néphroïde ; lemniscate de Bernoulli).

Chapitre 6. Transformations (…, symétrie oblique, rotation, homothétie, similitude, inversion, inversion isogonale, …).

Chapitre 7. Systèmes articulés (…, pantographes, systèmes de Kempe, applications à des limaçons, lemniscates, coniques à centre).

VENONS-EN AU PRÉSENT TOME II :

Chapitre 8. TRANSFORMER UN CERCLE EN QUADRILATÈRE (8 p.)
Le problème de base est celui-ci : « Soit c un cercle. Existe-t-il une transformation T constructible à la règle et au compas du plan dans lui-même telle que T(c) soit un triangle ou un quadrilatère ?  »
L’auteur définit et applique des macros conduisant au carré, au losange, au triangle, à un quadrilatère convexe quelconque. J’y ai bien aimé les applications, dans des conditions originales, de la macro « CercleCarré ». Mais l’essentiel est ailleurs : dans un traitement du problème qui familiarise avec une géométrie analytique élémentaire faisant un grand usage des valeurs absolues. Cet apport m’y semble décisif. Roger Cuppens signale « comme attrait supplémentaire, le lien avec les normes non euclidiennes du plan ».

Chapitre 9 ; GÉOMÉTRIE LOGIQUE (18 p.)
L’introduction précise qu’une « des caractéristiques essentielles de Cabri-Géomètre est son interactivité », mais, alors que « de nombreuses constructions usuelles du monde papier/crayon comportent des discussions et font apparaître des cas particuliers [dérogatoires] », pour Cabri « une construction doit être la plus générique possible  » … d’où le chapitre.
La notion de « construction logique  » propose «  pour une propriété p, de construire un objet O qui existe ou pas suivant que p est vraie ou fausse ».
«  L’objet O est un objet logique de p ».
Roger Cuppens traite alors, dans cette optique, de points en coïncidence ou non, des positions relatives d’un point et d’une droite, d’un point et d’un cercle, d’une « géométrie logique linéaire » où les appartenances jouent sur une droite, des positions relatives d’un point et d’un triangle ou d’un quadrilatère convexe, des parallélismes et orthogonalités.
Le neuvième et dernier sous-chapitre donne de jolis exemples d’applications :

• le premier correspond au fait que, I étant le centre du cercle inscrit d’un triangle ABC, \(\widehat{BIC}= 90° + \frac{\hat A}{2}\) , donc est obtus. Si l’on veut retrouver A à partir de B, I, C arbitraires, à quoi s’expose-t-on ?
• le deuxième simule le « déplacement d’une échelle » et le troisième une « éclipse  » de segment par un disque…
• le quatrième m’a particulièrement ravi. Il s’agit des « oracles  ». Un « oracle  » est l’affirmation par Cabri qu’une propriété est vraie ou fausse. Bien entendu, comme le souligne Roger Cuppens, l’oracle s’appuyant sur des calculs, des arrondis éventuels peuvent induire un oracle mensonger : « rien ne vaut une bonne démonstration ! ». Cabri fournit cinq oracles. On peut en avoir besoin d’autres, ainsi pour un problème proposé par J.-F. Bergeaut : « Soit ABCD un quadrilatère. Déplacer l’un des sommets jusqu’à ce que le quadrilatère soit un parallélogramme. On veut que Cabri signale cette obtention » … et ce sera chose faite…
  cinquième exemple : les « interrupteurs  ». L’auteur en donne des « binaire  », « ternaire  », « quaternaire  », et nous convie à la pose d’un « interrupteur » pour ajouter un dérailleur au vélo de la page 80 du tome I…

Chapitre 10. GÉOMÉTRIE BOOLÉENNE (28 p.)
Après divers rappels (de géométrie, de calcul booléen), Roger Cuppens reprend, d’un nouveau point de vue, des problèmes des chapitres antérieurs (appartenances, …, transformation d’un cercle en un polygone, problèmes d’intersections, …).
Dans l’avant-dernier sous-chapitre, l’auteur traite d’une « géométrie booléenne à ε près » rendue utile par les conséquences possibles d’imprécisions de calcul.
Roger Cuppens définit des «  ε-équivalences », « ε-signe », « ε-voisinage » et reprend ainsi des problèmes d’appartenance.
Le dernier sous-chapitre fournit deux exemples d’applications de la géométrie booléenne :

• un problème (simplifié) de gestion des parties cachées ;
• un mouvement avec contrainte : comment imposer à un disque de rester dans un rectangle.

Chapitre 11. LA MODIFICATION DES MENUS (24 p.)
Alors que les chapitres 9 et 10 de la brochure 105 ont été profondément remaniés, modifiés, enrichis, il n’en va pas de même du chapitre 11. Après un exposé sur «  les menus dans Cabri », l’auteur détaille des menus relatifs aux constructions à la règle seule (avec la notion fondamentale de birapport, des études sur l’homographie, l’involution, la division harmonique), à la règle et au traceur de parallèles, à la règle et à l’équerre droite, à la règle et au rapporteur, à la règle et à l’équerre d’angle \(\alpha\), à la règle et au compas, …, au compas seul, … (et j’en passe ! non sans signaler qu’il y a à chaque fois des exemples et des applications intéressants … où l’on fait agréablement une géométrie aux domaines multiformes…).

Les deux derniers chapitres sont entièrement nouveaux :

Chapitre 12 : FRACTALES ET PAVAGES (28 p.)
La version CABRI II (au contraire de langages comme LOGO) n’a pas de méthode directe pour représenter des phénomènes récursifs (qui peuvent définir des fractales). Aussi Roger Cuppens propose-t-il « une méthode indirecte, avec une suite de macros de plus en plus complexes », extrêmement performante, sans autres limites « que la mémoire de la machine utilisée ». Dès lors, sont superbement étudiées les « fractales déterministes » bien connues : flocon de neige de von Koch, ensemble de Cantor et tapis de Sierpinski, courbes en V, de Peano et Hilbert.
Roger Cuppens applique ensuite la même méthode aux pavages réguliers ou semi-réguliers (cela nous vaut de nombreux dessins…).

Chapitre 13 : GÉOMÉTRIE PROBABILISTE (12 p.)
CABRI II permet que « des points intermédiaires » d’une macro-construction soient pris « au hasard » sur l’objet correspondant.
De là l’introduction du hasard en géométrie dynamique. D’où des simulations de pièces et de dés, des « marches aléatoires » (équiprobables, bi ou tri-dimensionnelles), et un « cas général » : « Soient (n + 1) points \(P_0, P_1, …, P_n\) et (n + 1) nombres positifs \(p_0, p_1, …, p_n\) vérifiant \(p_0 + p_1 + … + p_n = 1\). Construire un point qui coïncide avec le point \(P_j\) avec la probabilité \(p_j\) (j = 0, 1, …, n) ».
Roger Cuppens étudie ensuite le mouvement brownien, l’aire d’un domaine et la méthode de Monte-Carlo, avec comme exemples le calcul de \(\pi\) et de ln 2.

QUELQUES COMMENTAIRES

Roger Cuppens sait mettre en scène des problèmes, préciser des théories, éclairer par des exemples accessibles, séduire par de belles applications.
Entre ses mains, Cabri II est ainsi un merveilleux instrument pour initier à beaucoup de géométrie, mine de rien, « en jouant », à partir des configurations les plus élémentaires mais sans s’y limiter.
Cette initiation ne peut que donner envie d’en savoir plus, d’en faire plus.
Simultanément les méthodes mises en place et la façon de les y mettre concourent à une formation scientifique des plus solides.

Voilà donc, de Roger Cuppens, une nouvelle brochure réalisée avec savoir et talent, pour induire des activités de géométrie, et des mathématiques dans leur ensemble, aussi attrayantes qu’efficaces. À consommer sans modération, du collège à la licence …, par des enseignants et élèves …, en y partageant le plaisir de Roger Cuppens !

P.S. Rappel. En 1999, l’APMEP a édité, de Roger Cuppens : «  Faire de la géométrie supérieure en jouant avec Cabri-géomètre II ». Deux tomes en 17 × 24. Cf. Bulletin 423, pages 500-503.
N^o 124 : 175 pages, prix adhérent : 6 ,85 €.
N^o 125 : 112 pages, prix adhérent : 5,35 €.
Les deux tomes ensemble : prix adhérent : 10,65 €.
Attention : il en reste moins de 400 exemplaires.